Задача 1
Сторону AB треугольника ABC продолжили за A на отрезок AD = AC. На лучах BA и BC взяты точки K и M, причём площади треугольников BDM и BCK равны. Найдите ∠BKM, если ∠BAC = α.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- точка \(D\) на продолжении \(BA\) за \(A\)
- \(AD = AC\); \(K\) на луче \(BA\)
- \(M\) на луче \(BC\)
- \(S_{BDM} = S_{BCK}\)
- \(\angle BAC = \alpha\)
- \(\angle BKM\)
-
Треугольники \(BDM\) и \(BCK\) имеют общий угол \(B\) (точки \(D\), \(K\) на луче \(BA\), точки \(M\), \(C\) на луче \(BC\)). Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:
\[\dfrac{S_{BDM}}{S_{BCK}} = \dfrac{BD \cdot BM}{BC \cdot BK}.\]Площади равны, поэтому \(BD \cdot BM = BC \cdot BK\), то есть \(\dfrac{BK}{BD} = \dfrac{BM}{BC}\). -
Треугольники \(BKM\) и \(BDC\): угол \(B\) общий и \(\dfrac{BK}{BD} = \dfrac{BM}{BC}\). По второму признаку подобия \(\triangle BKM \sim \triangle BDC\), значит, \(\angle BKM = \angle BDC\).
-
Найдём \(\angle BDC\). Треугольник \(ADC\) равнобедренный (\(AD = AC\)), поэтому \(\angle ADC = \angle ACD\). Угол \(BAC\) — внешний угол этого треугольника при вершине \(A\) (точка \(A\) лежит между \(B\) и \(D\)), он равен сумме двух углов, не смежных с ним: \(\alpha = \angle ADC + \angle ACD = 2\angle ADC\). Отсюда \(\angle ADC = \dfrac{\alpha}{2}\).
-
Точка \(A\) лежит на луче \(DB\), поэтому \(\angle BDC = \angle ADC = \dfrac{\alpha}{2}\), и \(\angle BKM = \dfrac{\alpha}{2}\). Заодно получили \(KM \parallel DC\) (соответственные углы равны).
Ответ
Из равенства площадей треугольников с общим углом B следует BK/BD = BM/BC, поэтому треугольник BKM подобен BDC, а угол BDC равен α/2 как угол при основании равнобедренного треугольника ADC.
Подробнее — в теме «Площадь треугольника».