Задача 1
Внутри прямоугольника ABCD взята точка M, MB = a, MC = b, MD = c. Найдите MA.
Решение
- \(ABCD\) — прямоугольник
- \(M\) — внутренняя точка
- \(MB = a\)
- \(MC = b\)
- \(MD = c\)
- \(MA\)
-
Проведём через \(M\) прямые, параллельные сторонам прямоугольника. Первая пересекает \(AB\) и \(CD\) в точках \(P\) и \(Q\) (\(PQ \parallel AD\)), вторая пересекает \(AD\) и \(BC\) в точках \(R\) и \(T\) (\(RT \parallel AB\)). Отрезки \(MP\), \(MQ\), \(MR\), \(MT\) перпендикулярны соответствующим сторонам, и получаются четыре прямоугольника: \(APMR\), \(PBTM\), \(MTCQ\), \(RMQD\).
-
Обозначим \(MP = p\), \(MQ = q\), \(MR = r\), \(MT = t\). Противоположные стороны прямоугольника равны: \(AP = MR = r\), \(PB = MT = t\), \(DQ = r\), \(QC = t\).
-
По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках \(APM\), \(BPM\), \(CQM\), \(DQM\): \(MA^2 = r^2 + p^2\), \(MB^2 = t^2 + p^2\), \(MC^2 = t^2 + q^2\), \(MD^2 = r^2 + q^2\).
-
Видно, что \(MA^2 + MC^2 = r^2 + p^2 + t^2 + q^2 = MB^2 + MD^2\). Отсюда \(MA^2 = a^2 + c^2 - b^2\) и
\[MA = \sqrt{a^2 + c^2 - b^2}.\]
Ответ
Суммы квадратов расстояний от точки до противоположных вершин прямоугольника равны — это следует из теоремы Пифагора для четырёх прямоугольных треугольников.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».