Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 858

Условие (кратко)

В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок KA перпендикулярен AB и равен DC, отрезок CM перпендикулярен BC и равен AD. Докажите, что MB = KB.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$BD$$ — высота, $KA \perp AB$ , $$KA = DC$$ , $CM \perp BC$ , $$CM = AD$$ . Доказать: $$MB = KB$$ .

Обозначим $$AB = c$$ , $$BC = a$$ , $$BD = h$$ .

Треугольник $$KAB$$ прямоугольный ( $\angle KAB = 90^\circ$ ), по теореме Пифагора $$KB^2 = AB^2 + KA^2 = c^2 + DC^2$$ .
Треугольник $$MCB$$ прямоугольный ( $\angle MCB = 90^\circ$ ), поэтому $$MB^2 = BC^2 + CM^2 = a^2 + AD^2$$ .
Треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ прямоугольные с прямым углом при $$D$$ (точка $$D$$ лежит на прямой $$AC$$ ). По теореме Пифагора $$AD^2 = c^2 - h^2$$ , $$DC^2 = a^2 - h^2$$ . (Если $$D$$ совпадает с $$A$$ или $$C$$ , равенства тоже верны: тогда $$AD = 0$$ и $$c = h$$ или $$DC = 0$$ и $$a = h$$ .)
Подставим: $$KB^2 = c^2 + a^2 - h^2$$ , $$MB^2 = a^2 + c^2 - h^2$$ . Квадраты равны, значит, $MB = KB = \sqrt{a^2 + c^2 - h^2}$ .

Ответ

Утверждение доказано, MB = KB = √(a² + c² − h²), где a = BC, c = AB, h = BD

Почему так

По теореме Пифагора оба отрезка выражаются через стороны AB, BC и высоту BD одинаково.

Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».

Задание 858