Задача 1
Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C взята точка O так, что площади треугольников OAB, OAC и OBC равны. Докажите, что OA² + OB² = 5OC².
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(O\) — внутренняя точка, \(S_{OAB} = S_{OAC} = S_{OBC}\). Доказать: \(OA^2 + OB^2 = 5OC^2\).
Обозначим \(BC = a\), \(AC = b\). Тогда \(S_{ABC} = \dfrac{ab}{2}\), а каждый из трёх треугольников имеет площадь \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{ab}{2} = \dfrac{ab}{6}\).
-
Проведём перпендикуляры \(OM\) к \(AC\) и \(ON\) к \(BC\). Из \(S_{OAC} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OM = \dfrac{ab}{6}\) получаем \(OM = \dfrac{a}{3}\). Из \(S_{OBC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot ON = \dfrac{ab}{6}\) получаем \(ON = \dfrac{b}{3}\).
-
Четырёхугольник \(CMON\) — прямоугольник (три прямых угла при \(C\), \(M\), \(N\)). Поэтому \(CM = ON = \dfrac{b}{3}\), \(CN = OM = \dfrac{a}{3}\). Тогда \(AM = b - \dfrac{b}{3} = \dfrac{2b}{3}\), \(BN = a - \dfrac{a}{3} = \dfrac{2a}{3}\).
-
Теорема Пифагора для треугольников \(COM\), \(AOM\), \(BON\):
\[OC^2 = \dfrac{a^2}{9} + \dfrac{b^2}{9},\quad OA^2 = \dfrac{a^2}{9} + \dfrac{4b^2}{9},\quad OB^2 = \dfrac{b^2}{9} + \dfrac{4a^2}{9}.\] -
Складываем: \(OA^2 + OB^2 = \dfrac{5a^2 + 5b^2}{9} = 5 \cdot \dfrac{a^2 + b^2}{9} = 5OC^2\).
Ответ
Равенство площадей даёт расстояния от O до катетов, равные трети другого катета, а дальше работает теорема Пифагора.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».