Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 860

Задача 1

Условие (кратко)

ABCDE — правильный пятиугольник (все стороны и углы равны), F — точка пересечения диагоналей AD и BE (рис. 275). Докажите, что △AED ∼ △AFE.

Решение

Дано: $$ABCDE$$ — правильный пятиугольник, $$F$$ — точка пересечения $$AD$$ и $$BE$$ . Доказать: $\triangle AED \sim \triangle AFE$ .

Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $(5 - 2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$ , поэтому каждый угол равен $540^\circ : 5 = 108^\circ$ .
Треугольник $$AED$$ равнобедренный ( $$AE = ED$$ ), $\angle AED = 108^\circ$ , значит, $\angle EAD = \angle EDA = \dfrac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$ .
Треугольник $$ABE$$ равнобедренный ( $$AB = AE$$ ), $\angle BAE = 108^\circ$ , значит, $\angle AEB = 36^\circ$ .
В треугольнике $$AFE$$ : $\angle FAE = \angle DAE = 36^\circ$ , $\angle AEF = \angle AEB = 36^\circ$ .
Сравним треугольники $$AED$$ и $$AFE$$ : $\angle EAD = \angle FAE$ (это один и тот же угол), $\angle EDA = 36^\circ = \angle FEA$ . По первому признаку (по двум углам) $\triangle AED \sim \triangle AFE$ , причём вершине $$E$$ соответствует $$F$$ , вершине $$D$$ — вершина $$E$$ .

Ответ

Утверждение доказано, △AED ∼ △AFE

Почему так

Все углы правильного пятиугольника равны 108°, поэтому углы при основаниях равнобедренных треугольников AED и ABE равны 36°, и треугольники подобны по двум углам.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

Для правильного пятиугольника ABCDE и точки F пересечения диагоналей AD и BE докажите, что DA/DF = DF/AF.

Решение

Дано: $$ABCDE$$ — правильный пятиугольник, $F = AD \cap BE$ . Доказать: $\dfrac{DA}{DF} = \dfrac{DF}{AF}$ .

Из пункта а): $\angle EAD = \angle EDA = 36^\circ$ , $\angle AEB = 36^\circ$ и $\triangle AED \sim \triangle AFE$ .

$$AF = FE$$ : в треугольнике $$AFE$$ углы при $$A$$ и $$E$$ равны $36^\circ$ , он равнобедренный.
$$DF = DE$$ : в треугольнике $$DFE$$ угол $\angle FDE = \angle ADE = 36^\circ$ , угол $\angle DEF = \angle DEA - \angle AEB = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$ , значит, $\angle DFE = 180^\circ - 36^\circ - 72^\circ = 72^\circ = \angle DEF$ . Треугольник $$DFE$$ равнобедренный, $$DF = DE$$ .
Из подобия $\triangle AED \sim \triangle AFE$ (соответствие $A \to A$ , $E \to F$ , $D \to E$ ): $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AE}{AF}$ .
Стороны пятиугольника равны, $$AE = DE = DF$$ . Подставим $$AE = DF$$ : $\dfrac{DA}{DF} = \dfrac{DF}{AF}$ .

Ответ

Утверждение доказано, DA/DF = DF/AF

Почему так

Из подобия треугольников AED и AFE и равенства DF = DE = AE следует нужная пропорция — диагональ делится точкой F в золотом отношении.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-860/