Задача 1
В треугольнике ABC (AB ≠ AC) через середину M стороны BC проведена прямая, параллельная биссектрисе угла A, пересекающая прямые AB и AC в точках D и E. Докажите, что BD = CE.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB \ne AC\), \(M\) — середина \(BC\), \(AL\) — биссектриса, \(DE \parallel AL\), \(M \in DE\), \(D \in AB\), \(E \in AC\) (на прямых). Доказать: \(BD = CE\).
Пусть для определённости \(AC > AB\).
-
По свойству биссектрисы (задача 642) \(\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB}{AC} < 1\), поэтому \(BL < LC\) и \(BL < \dfrac{BC}{2} = BM\). Значит, точка \(L\) лежит между \(B\) и \(M\), а \(M\) — на отрезке \(LC\).
-
Треугольники \(BAL\) и \(BDM\): угол \(B\) общий, \(\angle BAL = \angle BDM\) (соответственные углы при \(AL \parallel DM\)). Они подобны по первому признаку, \(\dfrac{BD}{BA} = \dfrac{BM}{BL}\), откуда \(BD = \dfrac{AB \cdot BM}{BL}\). Так как \(BM > BL\), то \(BD > BA\): точка \(D\) лежит на продолжении \(BA\) за точку \(A\).
-
Треугольники \(CAL\) и \(CEM\): угол \(C\) общий, \(\angle CAL = \angle CEM\) (соответственные при \(AL \parallel EM\)). Подобны, \(\dfrac{CE}{CA} = \dfrac{CM}{CL}\), откуда \(CE = \dfrac{AC \cdot CM}{CL}\).
-
Из свойства биссектрисы \(\dfrac{AB}{BL} = \dfrac{AC}{CL}\), а \(BM = CM\). Поэтому
\[BD = \dfrac{AB}{BL} \cdot BM = \dfrac{AC}{CL} \cdot CM = CE.\]
Ответ
Подобие треугольников с параллельными сторонами вместе со свойством биссектрисы BL/LC = AB/AC даёт одинаковые выражения для BD и CE.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».