Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 862

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ остроугольный, $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ — высоты. Доказать: $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ — биссектрисы углов треугольника $$A_1B_1C_1$$ .

Треугольник остроугольный, поэтому основания высот лежат на сторонах (внутри отрезков).

Лемма: $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$ . Прямоугольные треугольники $$ABB_1$$ и $$ACC_1$$ имеют общий острый угол $$A$$ , поэтому они подобны и $\dfrac{AB_1}{AB} = \dfrac{AC_1}{AC}$ . Тогда у треугольников $$AB_1C_1$$ и $$ABC$$ общий угол $$A$$ и стороны, его заключающие, пропорциональны. По второму признаку $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$ (вершине $$B_1$$ соответствует $$B$$ , вершине $$C_1$$ — $$C$$ ). Значит, $\angle AB_1C_1 = \angle ABC$ .
Точно так же $\triangle CB_1A_1 \sim \triangle CBA$ , и $\angle CB_1A_1 = \angle CBA$ .
Итак, $\angle AB_1C_1 = \angle CB_1A_1 = \angle B$ . Высота $BB_1 \perp AC$ , поэтому
$\angle C_1B_1B = 90^\circ - \angle AB_1C_1 = 90^\circ - \angle B, \quad \angle A_1B_1B = 90^\circ - \angle CB_1A_1 = 90^\circ - \angle B.$ Углы равны, значит, $$B_1B$$ — биссектриса угла $$A_1B_1C_1$$ .
Так же доказывается, что $$A_1A$$ и $$C_1C$$ — биссектрисы углов $$B_1A_1C_1$$ и $$A_1C_1B_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано, высоты остроугольного треугольника — биссектрисы треугольника с вершинами в их основаниях

Почему так

Отрезок, соединяющий основания двух высот, отсекает треугольник, подобный данному, поэтому высота образует равные углы с двумя сторонами ортотреугольника.

Подробнее — в теме «Второй признак подобия треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).