Задача 1
Точки E, F на стороне AB треугольника ABC, E на отрезке AF, AE = BF. Прямые через E параллельно AC и через F параллельно BC пересекаются в K. Докажите, что K лежит на медиане к AB.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(E, F \in AB\), \(E\) лежит на отрезке \(AF\), \(AE = BF\); \(EK \parallel AC\), \(FK \parallel BC\). Доказать: \(K\) лежит на медиане \(CM\) (\(M\) — середина \(AB\)).
Если \(E = F\), то \(AE = BF = \dfrac{AB}{2}\), точки \(E\), \(F\), \(K\) совпадают с \(M\) — утверждение очевидно. Пусть \(E \ne F\).
-
Так как \(AE + EF + FB = AB\) и \(AE = BF\), то \(AE = BF < \dfrac{AB}{2}\). Значит, \(E\) лежит между \(A\) и \(M\), \(F\) — между \(M\) и \(B\), причём \(ME = MA - AE = MB - BF = MF\).
-
Проведём через \(E\) прямую, параллельную \(AC\), и обозначим через \(K'\) её точку пересечения с медианой \(CM\). Треугольники \(MEK'\) и \(MAC\) подобны (угол \(M\) общий, \(\angle MEK' = \angle MAC\) как соответственные), поэтому \(\dfrac{MK'}{MC} = \dfrac{ME}{MA}\).
-
Так как \(ME = MF\) и \(MA = MB\), то \(\dfrac{MK'}{MC} = \dfrac{MF}{MB}\). У треугольников \(MFK'\) и \(MBC\) угол \(M\) общий, а стороны, его заключающие, пропорциональны. По второму признаку \(\triangle MFK' \sim \triangle MBC\), значит, \(\angle MFK' = \angle MBC\), и это соответственные углы при прямых \(FK'\) и \(BC\). Следовательно, \(FK' \parallel BC\).
-
Точка \(K'\) лежит и на прямой через \(E\) параллельно \(AC\), и на прямой через \(F\) параллельно \(BC\). Эти прямые не параллельны (иначе \(AC \parallel BC\)), поэтому пересекаются в единственной точке — это \(K\). Значит, \(K = K'\) лежит на медиане \(CM\).
Ответ
Точка медианы, построенная через E параллельно AC, по второму признаку подобия оказывается и на прямой через F параллельно BC.
Подробнее — в теме «Второй признак подобия треугольников».