Задача 1
На гипотенузе прямоугольного треугольника вне его построен квадрат. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла, если сумма катетов равна a.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(\angle A = 90^\circ\)
- \(AB + AC = a\); \(BCKL\) — квадрат
- не перекрывающийся с треугольником
- \(D\) — точка пересечения его диагоналей
- \(AD\)
-
Диагонали квадрата равны, перпендикулярны и делятся пополам, поэтому \(DB = DC\), \(\angle BDC = 90^\circ\), \(\angle DBC = \angle DCB = 45^\circ\).
-
Точки \(A\) и \(D\) лежат по разные стороны от \(BC\), поэтому \(\angle ABD = \angle ABC + 45^\circ\), \(\angle ACD = \angle ACB + 45^\circ\), и
\[\angle ABD + \angle ACD = (\angle ABC + \angle ACB) + 90^\circ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ.\] -
На продолжении \(AC\) за точку \(C\) отложим отрезок \(CE = AB\). Тогда \(\angle DCE = 180^\circ - \angle ACD = \angle ABD\).
-
Треугольники \(ABD\) и \(ECD\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(BD = CD\), \(AB = EC\), \(\angle ABD = \angle ECD\). Отсюда \(DA = DE\) и \(\angle BDA = \angle CDE\).
-
Точка \(C\) лежит на отрезке \(AE\), поэтому \(\angle ADE = \angle ADC + \angle CDE = \angle ADC + \angle BDA = \angle BDC = 90^\circ\).
-
Треугольник \(ADE\) прямоугольный и равнобедренный, гипотенуза \(AE = AC + CE = AC + AB = a\). По теореме Пифагора \(AD^2 + DE^2 = a^2\), \(2AD^2 = a^2\), откуда
\[AD = \dfrac{a}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}a.\]
Ответ
Поворотом треугольника ABD вокруг центра квадрата получается прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой, равной сумме катетов.
Подробнее — в теме «Теорема Пифагора».