Задача 1
В треугольнике ABC ∠A = 180°/7 и ∠B = 360°/7. Докажите, что 1/BC = 1/AC + 1/AB.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle A = \dfrac{180^\circ}{7}\), \(\angle B = \dfrac{360^\circ}{7}\). Доказать: \(\dfrac{1}{BC} = \dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{AB}\).
Обозначим \(\angle A = \varphi\), \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\). Тогда \(\angle B = 2\varphi\), \(\angle C = 180^\circ - 3\varphi = 7\varphi - 3\varphi = 4\varphi\). Значит, \(\angle C = 2\angle B\), \(\angle B = 2\angle A\), и \(c > b > a\) (против большего угла — большая сторона).
-
Соотношение \(b^2 = a^2 + ac\). Проведём биссектрису \(BD\): \(\angle ABD = \angle DBC = \varphi\). Треугольники \(BDC\) и \(ABC\) подобны (угол \(C\) общий, \(\angle DBC = \angle A\)), поэтому \(\dfrac{DC}{BC} = \dfrac{BC}{AC}\) и \(\dfrac{BD}{AB} = \dfrac{BC}{AC}\), то есть \(DC = \dfrac{a^2}{b}\), \(BD = \dfrac{ac}{b}\). Треугольник \(ABD\) равнобедренный (\(\angle DAB = \angle DBA = \varphi\)), \(AD = BD = \dfrac{ac}{b}\). Из \(AD + DC = b\) получаем \(ac + a^2 = b^2\).
-
Соотношение \(c^2 = b^2 + ab\). Проведём биссектрису \(CE\): \(\angle ACE = \angle ECB = 2\varphi = \angle B\). Треугольники \(ACE\) и \(ABC\) подобны (угол \(A\) общий, \(\angle ACE = \angle B\)), поэтому \(AE = \dfrac{b^2}{c}\), \(CE = \dfrac{ab}{c}\). Треугольник \(CEB\) равнобедренный (\(\angle ECB = \angle EBC = 2\varphi\)), \(BE = CE = \dfrac{ab}{c}\). Из \(AE + EB = c\) получаем \(b^2 + ab = c^2\).
-
Соотношение \(c^2 - bc = a^2\). Отложим на \(AB\) отрезок \(AP = AC = b\) (точка \(P\) на стороне, так как \(c > b\)). В равнобедренном треугольнике \(APC\) углы при основании равны \(\dfrac{180^\circ - \varphi}{2} = 3\varphi\). Тогда \(\angle BPC = 180^\circ - 3\varphi = 4\varphi\), \(\angle PCB = 4\varphi - 3\varphi = \varphi\). Треугольники \(BPC\) и \(BCA\) подобны (угол \(B\) общий, \(\angle BCP = \angle A\)), поэтому \(\dfrac{BP}{BC} = \dfrac{BC}{BA}\), \(BP \cdot c = a^2\), то есть \((c - b)c = a^2\).
-
Сложим равенства шагов 1 и 2: \(b^2 - a^2 + c^2 - b^2 = ac + ab\), то есть \(c^2 - a^2 = ab + ac\). Из шага 3: \(c^2 - a^2 = bc\). Значит, \(bc = ab + ac\). Разделим на \(abc\):
\[\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c},\]то есть \(\dfrac{1}{BC} = \dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{AB}\).
Ответ
Углы треугольника равны φ, 2φ и 4φ, поэтому биссектрисы и отрезок AP = AC отсекают треугольники, подобные данному, и дают три соотношения между сторонами.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».