Задача 1
Из точки M внутри угла AOB проведены перпендикуляры MP и MQ к сторонам OA и OB, из P и Q — перпендикуляры PR и QS к OB и OA. Докажите, что RS ⊥ OM.
Решение
Дано: угол \(AOB\), \(M\) — внутренняя точка, \(MP \perp OA\), \(MQ \perp OB\), \(PR \perp OB\), \(QS \perp OA\). Доказать: \(RS \perp OM\).
Основания перпендикуляров лежат на сторонах угла, поэтому угол \(AOB\) острый (при прямом угле точки \(R\) и \(S\) совпали бы с \(O\)).
-
Пусть прямая \(MP\) пересекает луч \(OB\) в точке \(E\), а прямая \(MQ\) — луч \(OA\) в точке \(F\).
-
Прямоугольные треугольники \(ORP\) и \(OQF\) (\(\angle ORP = \angle OQF = 90^\circ\)) имеют общий острый угол \(O\), значит, подобны: \(\dfrac{OR}{OQ} = \dfrac{OP}{OF}\), то есть \(OR \cdot OF = OP \cdot OQ\).
-
Прямоугольные треугольники \(OSQ\) и \(OPE\) (\(\angle OSQ = \angle OPE = 90^\circ\)) тоже подобны: \(\dfrac{OS}{OP} = \dfrac{OQ}{OE}\), то есть \(OS \cdot OE = OP \cdot OQ\).
-
Значит, \(OR \cdot OF = OS \cdot OE\), или \(\dfrac{OR}{OE} = \dfrac{OS}{OF}\). У треугольников \(ORS\) и \(OEF\) угол \(O\) общий (\(R\), \(E\) на луче \(OB\), \(S\), \(F\) на луче \(OA\)), стороны, его заключающие, пропорциональны. По второму признаку \(\triangle ORS \sim \triangle OEF\), \(\angle ORS = \angle OEF\) — это соответственные углы, поэтому \(RS \parallel EF\).
-
В треугольнике \(OEF\) прямая \(EP\) перпендикулярна \(OF\), а прямая \(FQ\) перпендикулярна \(OE\) — это две высоты, и они пересекаются в точке \(M\). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому прямая \(OM\) содержит третью высоту: \(OM \perp EF\).
-
Так как \(RS \parallel EF\) и \(EF \perp OM\), то \(RS \perp OM\).
Ответ
RS параллельна EF по второму признаку подобия, а OM — высота треугольника OEF, потому что M — точка пересечения двух других его высот.
Подробнее — в теме «Второй признак подобия треугольников».