Задача 1
В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания AC проведён перпендикуляр DH к стороне BC, M — середина DH. Докажите, что BM ⊥ AH.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(AB = BC\), \(D\) — середина \(AC\), \(DH \perp BC\), \(M\) — середина \(DH\). Доказать: \(BM \perp AH\).
-
В равнобедренном треугольнике медиана \(BD\) является высотой, \(\angle BDC = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(BDC\) отрезок \(DH\) — высота к гипотенузе, точка \(H\) лежит на отрезке \(BC\).
-
Треугольники \(BHD\) и \(DHC\) подобны: оба прямоугольные с прямым углом при \(H\), \(\angle HBD = 90^\circ - \angle C = \angle HDC\). Отсюда \(\dfrac{BH}{DH} = \dfrac{DH}{HC}\).
-
Пусть \(K\) — середина \(HC\). В треугольнике \(AHC\) отрезок \(DK\) соединяет середины сторон \(AC\) и \(HC\), это средняя линия: \(DK \parallel AH\).
-
Треугольники \(BHM\) и \(DHK\): углы при \(H\) прямые, \(HM = \dfrac{DH}{2}\), \(HK = \dfrac{HC}{2}\), поэтому \(\dfrac{BH}{DH} = \dfrac{DH}{HC} = \dfrac{HM}{HK}\). По второму признаку \(\triangle BHM \sim \triangle DHK\), значит, \(\angle HBM = \angle HDK\).
-
Прямая \(BM\) входит в треугольник \(DHK\) через точку \(M\) стороны \(DH\) и не может второй раз пересечь прямую \(BC\), поэтому пересекает сторону \(DK\) в некоторой точке \(X\). В треугольниках \(BHM\) и \(DXM\): \(\angle HBM = \angle XDM\) (шаг 4) и \(\angle BMH = \angle DMX\) (вертикальные). Значит, третьи углы равны: \(\angle DXM = \angle BHM = 90^\circ\), то есть \(BM \perp DK\).
-
Так как \(DK \parallel AH\), то \(BM \perp AH\).
Ответ
Треугольник BHM подобен DHK и повёрнут относительно него на 90°, а DK — средняя линия, параллельная AH.
Подробнее — в теме «Второй признак подобия треугольников».