Задание 868

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CD \perp AB\), \(DE \perp AC\), \(DF \perp BC\). Доказать: \(CD^3 = AB \cdot AE \cdot BF\).

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) высота к гипотенузе — среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы: \(CD^2 = AD \cdot DB\).

2. В прямоугольном треугольнике \(ADC\) (\(\angle ADC = 90^\circ\)) отрезок \(DE\) — высота к гипотенузе \(AC\), катет \(AD\) — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: \(AD^2 = AC \cdot AE\). Так же в треугольнике \(BDC\): \(DB^2 = BC \cdot BF\).

3. Площадь треугольника \(ABC\) можно найти двумя способами: \(\dfrac{1}{2}AC \cdot BC = \dfrac{1}{2}AB \cdot CD\), поэтому \(AC \cdot BC = AB \cdot CD\).

4. Возведём шаг 1 в квадрат и подставим шаги 2 и 3:

   \[CD^4 = AD^2 \cdot DB^2 = AC \cdot AE \cdot BC \cdot BF = AB \cdot CD \cdot AE \cdot BF.\]
   Разделим на \(CD > 0\): \(CD^3 = AB \cdot AE \cdot BF\).

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CD \perp AB\), \(DE \perp AC\), \(DF \perp BC\). Доказать: \(AE^2 + BF^2 + 3CD^2 = AB^2\).

1. Четырёхугольник \(CEDF\) — прямоугольник (три прямых угла при \(C\), \(E\), \(F\)), поэтому \(DF = CE\), и по теореме Пифагора в треугольнике \(CED\): \(DE^2 + DF^2 = DE^2 + CE^2 = CD^2\).

2. Теорема Пифагора в треугольниках \(AED\) и \(DFB\): \(AD^2 = AE^2 + DE^2\), \(DB^2 = BF^2 + DF^2\).

3. Точка \(D\) лежит на гипотенузе, \(AB = AD + DB\), и \(AD \cdot DB = CD^2\) (высота — среднее пропорциональное). Поэтому

   \[AB^2 = AD^2 + 2AD \cdot DB + DB^2 = AE^2 + DE^2 + BF^2 + DF^2 + 2CD^2.\]

4. По шагу 1 \(DE^2 + DF^2 = CD^2\), значит, \(AB^2 = AE^2 + BF^2 + 3CD^2\).

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(CD \perp AB\), \(DE \perp AC\), \(DF \perp BC\). Доказать: \(\sqrt[3]{AE^2} + \sqrt[3]{BF^2} = \sqrt[3]{AB^2}\).

1. Выразим \(AE\) через \(AC\) и \(AB\). Катет \(AC\) — среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией: \(AC^2 = AB \cdot AD\), откуда \(AD = \dfrac{AC^2}{AB}\). В прямоугольном треугольнике \(ADC\) катет \(AD\) и его проекция \(AE\) на гипотенузу \(AC\): \(AD^2 = AC \cdot AE\), откуда

   \[AE = \dfrac{AD^2}{AC} = \dfrac{AC^4}{AB^2 \cdot AC} = \dfrac{AC^3}{AB^2}.\]
   (Это же получается из подобия треугольников \(AED\) и \(ACB\).)

2. Аналогично \(BF = \dfrac{BC^3}{AB^2}\).

3. Тогда \(AE^2 = \dfrac{AC^6}{AB^4}\) и \(\sqrt[3]{AE^2} = \dfrac{AC^2}{\sqrt[3]{AB^4}}\); так же \(\sqrt[3]{BF^2} = \dfrac{BC^2}{\sqrt[3]{AB^4}}\).

4. Складываем и применяем теорему Пифагора \(AC^2 + BC^2 = AB^2\):

   \[\sqrt[3]{AE^2} + \sqrt[3]{BF^2} = \dfrac{AC^2 + BC^2}{\sqrt[3]{AB^4}} = \dfrac{AB^2}{\sqrt[3]{AB^4}} = \sqrt[3]{\dfrac{AB^6}{AB^4}} = \sqrt[3]{AB^2}.\]