Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 869

Задача 1

Условие (кратко)

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, ∠ADP = ½∠PDC, ∠ADP = ⅔∠PAD, AD = BD = CD. Найдите все углы четырёхугольника.

Решение

Дано

$$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник
$P = AC \cap BD$
$\angle ADP = \dfrac{1}{2}\angle PDC$
$\angle ADP = \dfrac{2}{3}\angle PAD$
$$AD = BD = CD$$

Найти

углы $$ABCD$$

Пусть $\angle ADP = x$ . Тогда $\angle PDC = 2x$ , $\angle PAD = \dfrac{3x}{2}$ . Так как $$P$$ лежит на диагоналях, $\angle ADB = x$ , $\angle BDC = 2x$ , $\angle DAC = \dfrac{3x}{2}$ , $\angle ADC = 3x$ .
Треугольник $$ADC$$ равнобедренный ( $$AD = CD$$ ), $\angle DCA = \angle DAC = \dfrac{3x}{2}$ . Сумма его углов: $3x + \dfrac{3x}{2} + \dfrac{3x}{2} = 180^\circ$ , $6x = 180^\circ$ , $x = 30^\circ$ .
Значит, $\angle ADB = 30^\circ$ , $\angle BDC = 60^\circ$ , $\angle D = \angle ADC = 90^\circ$ .
Треугольник $$ABD$$ равнобедренный ( $$AD = BD$$ ) с углом $30^\circ$ при вершине $$D$$ : $\angle DAB = \angle DBA = \dfrac{180^\circ - 30^\circ}{2} = 75^\circ$ .
Треугольник $$BDC$$ равнобедренный ( $$BD = CD$$ ) с углом $60^\circ$ при вершине — равносторонний: $\angle DBC = \angle DCB = 60^\circ$ .
Углы четырёхугольника: $\angle A = \angle DAB = 75^\circ$ , $\angle B = \angle ABD + \angle DBC = 75^\circ + 60^\circ = 135^\circ$ , $\angle C = \angle DCB = 60^\circ$ , $\angle D = 90^\circ$ . Проверка: $75^\circ + 135^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ .

Ответ

∠A = 75°, ∠B = 135°, ∠C = 60°, ∠D = 90°

Почему так

Из равнобедренного треугольника ADC находится угол x = 30°, а остальные углы — из равнобедренных треугольников ABD и BDC.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задача 2

Условие (кратко)

В том же четырёхугольнике ABCD (диагонали пересекаются в P, AD = BD = CD, углы из пункта а) докажите, что AB² = BP · BD.

Решение

Дано: четырёхугольник из пункта а), $\angle DAB = \angle DBA = 75^\circ$ , $\angle ADB = 30^\circ$ , $\angle PAD = 45^\circ$ . Доказать: $AB^2 = BP \cdot BD$ .

Из пункта а): $\angle PAD = \dfrac{3x}{2} = 45^\circ$ , поэтому $\angle BAP = \angle BAD - \angle PAD = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$ .
Треугольники $$ABP$$ и $$DBA$$ : угол $$B$$ общий ( $\angle ABP = \angle DBA$ , точка $$P$$ на отрезке $$BD$$ ), $\angle BAP = 30^\circ = \angle BDA$ . По первому признаку $\triangle ABP \sim \triangle DBA$ .
Из подобия $\dfrac{AB}{DB} = \dfrac{BP}{BA}$ , то есть $AB^2 = BP \cdot BD$ .

Ответ

Утверждение доказано, AB² = BP·BD

Почему так

Треугольники ABP и DBA подобны по двум углам (общий угол B и углы по 30°), откуда AB — среднее пропорциональное между BP и BD.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-869/