Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 870

Условие (кратко)

Точка M не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, P, Q такие, что A, B, C, D — середины отрезков MN, NP, PQ, QM.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — параллелограмм, точка $$M$$ не лежит на прямых $$AB$$ , $$BC$$ , $$CD$$ , $$DA$$ . Доказать: существуют $$N$$ , $$P$$ , $$Q$$ , для которых $$A$$ , $$B$$ , $$C$$ , $$D$$ — середины $$MN$$ , $$NP$$ , $$PQ$$ , $$QM$$ .

Построим точки по порядку. $$N$$ — точка, симметричная $$M$$ относительно $$A$$ (тогда $$A$$ — середина $$MN$$ ). $$Q$$ — точка, симметричная $$M$$ относительно $$D$$ ( $$D$$ — середина $$QM$$ ). $$P$$ — точка, симметричная $$Q$$ относительно $$C$$ ( $$C$$ — середина $$PQ$$ ). Осталось доказать, что $$B$$ — середина $$NP$$ .
Пусть $$B'$$ — середина $$NP$$ . По теореме Вариньона (задача 486) середины сторон четырёхугольника $$MNPQ$$ — точки $$A$$ , $$B'$$ , $$C$$ , $$D$$ — являются вершинами параллелограмма $$AB'CD$$ . (Её доказательство: $$AB'$$ и $$DC$$ — средние линии треугольников $$MNP$$ и $$MQP$$ , поэтому обе параллельны $$MP$$ и равны $\dfrac{MP}{2}$ .)
В параллелограммах $$ABCD$$ и $$AB'CD$$ диагонали делятся точкой пересечения пополам. Обе диагонали $$AC$$ общие, их середина $$O$$ одна и та же. Значит, и $$B$$ , и $$B'$$ — точки, симметричные $$D$$ относительно $$O$$ . Следовательно, $$B' = B$$ , то есть $$B$$ — середина $$NP$$ .
Условие о положении $$M$$ нужно, чтобы четырёхугольник $$MNPQ$$ не вырождался: если $$M$$ на прямой, например, $$AD$$ , то точки $$M$$ , $$N$$ , $$Q$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано, искомые точки строятся последовательной симметрией M относительно A, D и C

Почему так

Середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм (теорема Вариньона), а параллелограмм с тремя данными вершинами A, C, D единственный.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Задание 870

Задача 1