Задача 1
Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, \(AB \nparallel CD\), \(M\) и \(N\) — середины \(AD\) и \(BC\). Доказать: \(MN < \dfrac{AB + CD}{2}\).
-
Отметим точку \(D_1\), симметричную \(D\) относительно \(N\). В четырёхугольнике \(BD_1CD\) диагонали \(BC\) и \(DD_1\) точкой пересечения \(N\) делятся пополам, значит, это параллелограмм: \(BD_1 = CD\) и \(BD_1 \parallel CD\).
-
В треугольнике \(ADD_1\) точка \(M\) — середина \(AD\), точка \(N\) — середина \(DD_1\), поэтому \(MN\) — средняя линия: \(MN = \dfrac{AD_1}{2}\).
-
Точки \(A\), \(B\), \(D_1\) не лежат на одной прямой: иначе прямая \(AB\) совпала бы с прямой \(BD_1\), параллельной \(CD\), и было бы \(AB \parallel CD\). Значит, \(ABD_1\) — треугольник, и по неравенству треугольника \(AD_1 < AB + BD_1 = AB + CD\).
-
Следовательно, \(MN = \dfrac{AD_1}{2} < \dfrac{AB + CD}{2}\).
Заметим: для любых точек верно \(AD_1 \le AB + BD_1\), поэтому всегда \(MN \le \dfrac{AB + CD}{2}\), а строгое неравенство — когда \(AB \nparallel CD\).
Ответ
После симметрии точки D относительно середины BC отрезок MN становится средней линией треугольника, и работает неравенство треугольника.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».