Задача 1
Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна половине его периметра, то это параллелограмм.
Решение
Дано: \(ABCD\) — выпуклый четырёхугольник, \(M\), \(N\) — середины \(AD\), \(BC\); \(K\), \(L\) — середины \(AB\), \(CD\); \(MN + KL = \dfrac{AB + BC + CD + DA}{2}\). Доказать: \(ABCD\) — параллелограмм.
-
По задаче 871 (и замечанию к ней) всегда \(MN \le \dfrac{AB + CD}{2}\), причём равенство возможно только при \(AB \parallel CD\). Так же \(KL \le \dfrac{AD + BC}{2}\), и равенство возможно только при \(AD \parallel BC\).
-
Сложим неравенства: \(MN + KL \le \dfrac{AB + CD}{2} + \dfrac{AD + BC}{2}\) — половина периметра.
-
По условию получилось равенство. Сумма двух чисел, каждое из которых не больше своей границы, равна сумме границ, только если оба неравенства — равенства. Значит, \(MN = \dfrac{AB + CD}{2}\) и \(KL = \dfrac{AD + BC}{2}\).
-
Отсюда \(AB \parallel CD\) и \(AD \parallel BC\): противоположные стороны попарно параллельны, \(ABCD\) — параллелограмм.
Ответ
Каждый отрезок между серединами противоположных сторон не больше полусуммы двух других сторон, и равенство бывает только при их параллельности.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».