Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 873

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.

Решение

Дано: $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник, $$M$$ , $$N$$ — середины $$AD$$ и $$BC$$ , $MN = \dfrac{AB + CD}{2}$ . Доказать: $$ABCD$$ — трапеция или параллелограмм.

Предположим, что $AB \nparallel CD$ . Тогда по задаче 871 $MN < \dfrac{AB + CD}{2}$ — противоречие с условием.
Значит, $AB \parallel CD$ . У выпуклого четырёхугольника две противоположные стороны параллельны.
Если при этом $AD \nparallel BC$ , то $$ABCD$$ — трапеция с основаниями $$AB$$ и $$CD$$ ; если $AD \parallel BC$ — параллелограмм.

Заметим, что в трапеции средняя линия действительно равна полусумме оснований, так что условие выполняется.

Ответ

Утверждение доказано, AB ∥ CD, поэтому четырёхугольник — трапеция или параллелограмм

Почему так

По задаче 871 при непараллельных сторонах AB и CD отрезок MN строго меньше их полусуммы, поэтому равенство возможно только при AB ∥ CD.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).