Задача 1
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O, треугольник ABO (AB — меньшее основание) равносторонний. Докажите, что треугольник с вершинами в серединах отрезков OA, OD и BC равносторонний.
Решение
Дано: \(ABCD\) — трапеция, \(AB \parallel CD\), \(AB < CD\), \(O = AC \cap BD\), \(\triangle ABO\) равносторонний; \(K\), \(L\), \(N\) — середины \(OA\), \(OD\), \(BC\). Доказать: \(\triangle KLN\) равносторонний.
-
\(\angle OAB = \angle OBA = 60^\circ\). При \(AB \parallel CD\) накрест лежащие углы равны: \(\angle OCD = \angle OAB = 60^\circ\), \(\angle ODC = \angle OBA = 60^\circ\). Значит, треугольник \(OCD\) тоже равносторонний.
-
Треугольники \(AOD\) и \(BOC\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AO = BO\), \(OD = OC\), \(\angle AOD = \angle BOC\) (вертикальные). Поэтому \(AD = BC\).
-
\(KL\) — средняя линия треугольника \(AOD\): \(KL = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{BC}{2}\).
-
В равностороннем треугольнике \(ABO\) медиана \(BK\) является высотой: \(BK \perp AO\), то есть \(\angle BKC = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(BKC\) медиана \(KN\), проведённая к гипотенузе, равна её половине: \(KN = \dfrac{BC}{2}\).
-
В равностороннем треугольнике \(OCD\) медиана \(CL\) — высота: \(CL \perp OD\), \(\angle BLC = 90^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(BLC\) медиана \(LN = \dfrac{BC}{2}\).
-
Итак, \(KL = KN = LN = \dfrac{BC}{2}\) — треугольник \(KLN\) равносторонний.
Ответ
Одна сторона — средняя линия треугольника AOD, две другие — медианы к гипотенузе BC прямоугольных треугольников BKC и BLC.
Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».