Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 875

Задача 1

Условие (кратко)

Из вершины A треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и AK к биссектрисам внешних углов при вершинах B и C. Докажите, что MK равен половине периметра треугольника ABC.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$BM$$ и $$CK$$ — биссектрисы внешних углов при $$B$$ и $$C$$ , $AM \perp BM$ , $AK \perp CK$ . Доказать: $MK = \dfrac{AB + BC + CA}{2}$ .

Продолжим $$AM$$ до пересечения с прямой $$BC$$ в точке $$D$$ . Биссектриса $$BM$$ делит пополам угол между лучом $$BA$$ и продолжением $$CB$$ за точку $$B$$ , поэтому точка $$D$$ лежит на этом продолжении.
Прямоугольные треугольники $$ABM$$ и $$DBM$$ равны: катет $$BM$$ общий, $\angle ABM = \angle DBM$ (биссектриса). Значит, $$BD = BA$$ и $$AM = MD$$ — точка $$M$$ середина $$AD$$ .
Так же продолжим $$AK$$ до пересечения с прямой $$BC$$ в точке $$E$$ на продолжении $$BC$$ за точку $$C$$ . Получаем $$CE = CA$$ , $$K$$ — середина $$AE$$ .
Точки $$D$$ и $$E$$ лежат по разные стороны от отрезка $$BC$$ , поэтому $$DE = DB + BC + CE = AB + BC + CA$$ — периметр треугольника.
В треугольнике $$ADE$$ отрезок $$MK$$ соединяет середины сторон $$AD$$ и $$AE$$ — это средняя линия: $MK = \dfrac{DE}{2} = \dfrac{AB + BC + CA}{2}$ .

Ответ

Утверждение доказано, MK = (AB + BC + CA)/2

Почему так

Перпендикуляры к биссектрисам внешних углов, продолженные до прямой BC, отсекают отрезки, равные AB и AC, и MK оказывается средней линией треугольника с основанием, равным периметру.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).