Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 876

Условие (кратко)

Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ — внутренние точки сторон $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ ; $$X$$ , $$Y$$ , $$Z$$ — середины $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ . Доказать: $$X$$ , $$Y$$ , $$Z$$ не лежат на одной прямой.

Пусть $$A_0$$ , $$B_0$$ , $$C_0$$ — середины сторон $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ .

Точка $$X$$ — внутренняя точка отрезка $$C_0B_0$$ (по задаче 531 середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с точкой противоположной стороны, лежит на отрезке, соединяющем середины двух других сторон; докажем это). В треугольнике $$ABA_1$$ отрезок $$C_0X$$ — средняя линия: $C_0X = \dfrac{BA_1}{2}$ . В треугольнике $$ACA_1$$ отрезок $$B_0X$$ — средняя линия: $B_0X = \dfrac{A_1C}{2}$ . Поэтому $C_0X + XB_0 = \dfrac{BA_1 + A_1C}{2} = \dfrac{BC}{2} = C_0B_0$ . Равенство в неравенстве треугольника означает, что $$X$$ лежит на отрезке $$C_0B_0$$ ; концом отрезка $$X$$ не является, так как $$BA_1 > 0$$ и $$A_1C > 0$$ .
Так же $$Y$$ — внутренняя точка отрезка $$C_0A_0$$ , $$Z$$ — внутренняя точка отрезка $$A_0B_0$$ . Итак, $$X$$ , $$Y$$ , $$Z$$ лежат на трёх разных сторонах треугольника $$A_0B_0C_0$$ , не в вершинах.
Предположим, что $$X$$ , $$Y$$ , $$Z$$ лежат на прямой $$l$$ . Если $$l$$ содержит сторону, например $$B_0C_0$$ , то точка $$Y$$ отрезка $$C_0A_0$$ лежит на $$l$$ и отлична от $$C_0$$ , — значит, $$l$$ содержит и $$C_0A_0$$ , и три вершины лежат на одной прямой, что невозможно. Если $$l$$ не содержит сторону и проходит через внутреннюю точку стороны, то концы этой стороны лежат по разные стороны от $$l$$ . Получаем: $$B_0$$ и $$C_0$$ по разные стороны от $$l$$ , $$C_0$$ и $$A_0$$ — тоже, $$A_0$$ и $$B_0$$ — тоже. Но полуплоскостей только две, и какие-то две из трёх вершин окажутся в одной. Противоречие.
Значит, середины отрезков $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ не лежат на одной прямой.

Ответ

Утверждение доказано, середины лежат внутри трёх разных сторон треугольника A₀B₀C₀ и поэтому не лежат на одной прямой

Почему так

Середина отрезка из вершины к противоположной стороне лежит на средней линии, а прямая не может пройти через внутренние точки всех трёх сторон треугольника.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Задание 876

Задача 1