Задание 877

Дано: \(\triangle ABC\), \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) — высоты, их середины \(X\), \(Y\), \(Z\) лежат на одной прямой. Доказать: \(\triangle ABC\) прямоугольный.

Докажем, что в непрямоугольном треугольнике середины высот не лежат на одной прямой. Пусть \(A_0\), \(B_0\), \(C_0\) — середины сторон \(BC\), \(CA\), \(AB\).

1. Остроугольный треугольник: основания всех высот — внутренние точки сторон, и по задаче 876 середины высот не лежат на одной прямой.

2. Тупоугольный треугольник, пусть \(\angle A > 90^\circ\). Основание \(A_1\) лежит внутри \(BC\), а по задаче 876 (шаг 1) \(X\) — внутренняя точка отрезка \(C_0B_0\). Основание \(B_1\) лежит на продолжении \(CA\) за точку \(A\). В треугольнике \(BCB_1\) средняя линия \(A_0Y = \dfrac{CB_1}{2}\), в треугольнике \(BAB_1\) средняя линия \(C_0Y = \dfrac{AB_1}{2}\), а \(A_0C_0 = \dfrac{CA}{2}\). Так как \(CB_1 = CA + AB_1\), то \(A_0Y = A_0C_0 + C_0Y\): точка \(C_0\) лежит на отрезке \(A_0Y\) и \(Y \ne C_0\). Значит, \(Y\) — на продолжении \(A_0C_0\) за \(C_0\). Так же \(Z\) — на продолжении \(A_0B_0\) за \(B_0\).

3. Точки \(C_0\) и \(B_0\) — внутренние точки сторон \(A_0Y\) и \(A_0Z\) треугольника \(A_0YZ\), поэтому все внутренние точки отрезка \(C_0B_0\) лежат внутри этого треугольника, а не на стороне \(YZ\). Точка \(X\) — внутренняя точка \(C_0B_0\), значит, \(X\) не лежит на прямой \(YZ\).

4. Итак, если треугольник не прямоугольный, середины высот не лежат на одной прямой. По условию они лежат на одной прямой, следовательно, треугольник прямоугольный.

Обратно, при \(\angle C = 90^\circ\) две высоты — катеты, их середины \(B_0\) и \(A_0\), а середина высоты \(CC_1\) лежит на средней линии \(A_0B_0\) — все три точки на одной прямой.