Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 878

Треугольники $$MCN$$ и $$MCB$$ равны по двум сторонам и углу между ними: $$CN = CB$$ , $$CM$$ общая, $\angle NCM = \angle BCM$ . Значит, $$MN = MB$$ , а треугольник $$BCN$$ равнобедренный с биссектрисой $$CM$$ , поэтому $CM \perp BN$ .
$$AM = 2MB$$ . По свойству биссектрисы (задача 642) $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AC}{BC} = 2$ . Треугольники $$ACM$$ и $$BCM$$ имеют общую высоту из $$C$$ , поэтому их площади относятся как основания: $S_{ACM} = 2S_{BCM}$ , и $S = S_{ACM} + S_{BCM} = 3S_{BCM}$ . Получили $S_{BCM} = \dfrac{1}{2}S_{ACM} = \dfrac{1}{3}S$ .
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны: $CK \perp CM$ . Вместе с $BN \perp CM$ это даёт $BN \parallel CK$ .
В треугольнике $$AKC$$ прямая $$NB$$ проходит через середину $$N$$ стороны $$AC$$ параллельно $$CK$$ , поэтому она пересекает $$AK$$ в середине: $$B$$ — середина $$AK$$ , а $$BN$$ — средняя линия. Значит, $$BK = AB$$ и точка $$K$$ лежит на продолжении $$AB$$ за $$B$$ .
Треугольники $$CBK$$ и $$CAB$$ имеют равные основания $$BK = AB$$ и общую высоту из $$C$$ , поэтому $S_{CBK} = S$ . Точка $$B$$ лежит между $$M$$ и $$K$$ , поэтому
$S_{CMK} = S_{CMB} + S_{CBK} = \dfrac{1}{3}S + S = \dfrac{4}{3}S.$
Итак, $S_{BCM} = \dfrac{1}{2}S_{ACM} = \dfrac{1}{3}S_{ABC} = \dfrac{1}{4}S_{CMK}$ .

В условии учебника последнее равенство напечатано как $\dfrac{1}{2}S_{CMK}$ — это опечатка. Проверка: при $\angle C = 90^\circ$ , $$BC = 1$$ , $$AC = 2$$ получаем $S_{ABC} = 1$ , $S_{BCM} = \dfrac{1}{3}$ , $S_{CMK} = \dfrac{4}{3}$ .

Ответ

Доказано, S(BCM) = ½S(ACM) = ⅓S(ABC) = ¼S(CMK); в учебнике в последнем равенстве опечатка (½ вместо ¼)

Почему так

Биссектриса делит AB в отношении 2 к 1, а прямая BN, параллельная внешней биссектрисе, оказывается средней линией, поэтому BK = AB.

Подробнее — в теме «Средняя линия треугольника».

Задание 878

Задача 1