Задача 1
Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что S(EFG)/S(ABC) = 3/4.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), медианы \(AA_1 = m_a\), \(BB_1 = m_b\), \(CC_1 = m_c\); \(\triangle EFG\) со сторонами \(m_a\), \(m_b\), \(m_c\). Доказать: \(\dfrac{S_{EFG}}{S_{ABC}} = \dfrac{3}{4}\).
-
Медианы пересекаются в точке \(O\), которая делит каждую в отношении \(2 : 1\) от вершины: \(OB = \dfrac{2}{3}m_b\), \(OC = \dfrac{2}{3}m_c\), \(OA_1 = \dfrac{1}{3}m_a\).
-
Продолжим \(OA_1\) за \(A_1\) на отрезок \(A_1D = OA_1\). Диагонали четырёхугольника \(OBDC\) делятся точкой \(A_1\) пополам, значит, это параллелограмм: \(BD = OC = \dfrac{2}{3}m_c\). Кроме того, \(OD = 2OA_1 = \dfrac{2}{3}m_a\).
-
Стороны треугольника \(OBD\) равны \(\dfrac{2}{3}m_b\), \(\dfrac{2}{3}m_c\), \(\dfrac{2}{3}m_a\) — они пропорциональны сторонам треугольника \(EFG\) с коэффициентом \(\dfrac{2}{3}\). По третьему признаку треугольники подобны, а площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: \(S_{OBD} = \dfrac{4}{9}S_{EFG}\).
-
Диагональ \(BC\) делит параллелограмм \(OBDC\) на два равных треугольника, и диагональ \(OD\) — тоже, поэтому \(S_{OBD} = \dfrac{1}{2}S_{OBDC} = S_{OBC}\).
-
Треугольники \(OBC\) и \(ABC\) имеют общее основание \(BC\), а их высоты относятся как \(OA_1 : AA_1 = 1 : 3\) (из подобия прямоугольных треугольников, образованных высотами и медианой). Поэтому \(S_{OBC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\).
-
Итак, \(\dfrac{4}{9}S_{EFG} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\), откуда \(\dfrac{S_{EFG}}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Ответ
Треугольник из двух третей медиан достраивается до параллелограмма на стороне BC; его площадь равна трети площади ABC, а с треугольником EFG он подобен с коэффициентом 2/3.
Подробнее — в теме «Отношение площадей подобных треугольников».