Задача 1
В треугольнике ABC прямая через вершину A делит медиану BM в отношении 1 к 2, считая от B, и пересекает сторону BC в точке K. Найдите отношение площадей треугольников ABK и ABC.
Решение
- \(\triangle ABC\)
- \(BM\) — медиана
- прямая \(AK\) пересекает \(BM\) в точке \(P\)
- \(BP : PM = 1 : 2\)
- \(K \in BC\)
- \(\dfrac{S_{ABK}}{S_{ABC}}\)
-
Проведём через \(M\) прямую, параллельную \(AK\); она пересекает \(BC\) в точке \(L\).
-
В треугольнике \(AKC\) прямая \(ML\) проходит через середину \(M\) стороны \(AC\) параллельно \(AK\), поэтому \(L\) — середина \(KC\) (средняя линия): \(KL = LC\).
-
Треугольники \(BPK\) и \(BML\) подобны: угол \(B\) общий, \(\angle BPK = \angle BML\) (соответственные при \(PK \parallel ML\)). Поэтому \(\dfrac{BK}{BL} = \dfrac{BP}{BM} = \dfrac{1}{3}\), то есть \(BK = \dfrac{1}{3}BL\) и \(KL = 2BK\).
-
Пусть \(BK = x\). Тогда \(KL = 2x\), \(LC = KL = 2x\), \(BC = x + 2x + 2x = 5x\).
-
Треугольники \(ABK\) и \(ABC\) имеют общую высоту из \(A\), поэтому
\[\dfrac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \dfrac{BK}{BC} = \dfrac{x}{5x} = \dfrac{1}{5}.\]
Ответ
Прямая через середину AC параллельно AK делит KC пополам, а подобие треугольников BPK и BML даёт BK = KL/2, поэтому BK составляет пятую часть BC.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».