Задача 1
Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и BC в точках M, N и P. Докажите, что AM — среднее пропорциональное между MN и MP.
Решение
Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, прямая через \(A\) пересекает прямые \(BD\), \(CD\), \(BC\) в точках \(M\), \(N\), \(P\). Доказать: \(AM^2 = MN \cdot MP\).
-
Треугольники \(MND\) и \(MAB\). Прямая \(DN\) (это прямая \(CD\)) параллельна \(AB\). Углы при вершине \(M\) равны как вертикальные, \(\angle MDN = \angle MBA\) как накрест лежащие при \(DN \parallel AB\) и секущей \(BD\). По первому признаку \(\triangle MND \sim \triangle MAB\), поэтому \(\dfrac{MN}{MA} = \dfrac{MD}{MB}\).
-
Треугольники \(MAD\) и \(MPB\). Прямая \(BP\) (это прямая \(BC\)) параллельна \(AD\). Углы при \(M\) вертикальные, \(\angle MDA = \angle MBP\) как накрест лежащие при \(AD \parallel BP\) и секущей \(BD\). Значит, \(\triangle MAD \sim \triangle MPB\) и \(\dfrac{MA}{MP} = \dfrac{MD}{MB}\).
-
Правые части равенств шагов 1 и 2 одинаковы, поэтому \(\dfrac{MN}{MA} = \dfrac{MA}{MP}\), то есть \(AM^2 = MN \cdot MP\).
Ответ
Две пары подобных треугольников с вершиной M дают одно и то же отношение MD/MB.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».