Задание 882

Дано: \(ABCD\) — равнобедренная трапеция, \(AD\) — большее основание, \(AB\) — данная боковая сторона, \(n \in \{2, 3, 4\}\). Построить: точку \(X \in AD\), расстояние от которой до прямой \(AB\) в \(n\) раз больше, чем до прямой \(CD\).

Анализ. Пусть \(X\) — искомая точка, \(XH \perp AB\), \(XT \perp CD\). Углы при большем основании равнобедренной трапеции равны и острые: \(\angle A = \angle D\). Прямоугольные треугольники \(AXH\) и \(DXT\) подобны (по острому углу), поэтому \(\dfrac{XH}{XT} = \dfrac{AX}{XD}\). Значит, условие \(XH = n \cdot XT\) равносильно \(AX : XD = n : 1\). Задача сводится к делению отрезка \(AD\) в отношении \(n : 1\) (задача 690).

Построение.

1. Из точки \(A\) проведём луч, не лежащий на прямой \(AD\).
2. Циркулем отложим на нём от \(A\) подряд \(n + 1\) равных отрезков: \(AA_1 = A_1A_2 = \ldots = A_nA_{n+1}\) (для \(n = 2\) — три отрезка, для \(n = 3\) — четыре, для \(n = 4\) — пять).
3. Соединим \(A_{n+1}\) с \(D\).
4. Через \(A_n\) проведём прямую, параллельную \(A_{n+1}D\); она пересечёт \(AD\) в точке \(X\).

Доказательство. Треугольники \(AA_nX\) и \(AA_{n+1}D\) подобны (угол \(A\) общий, соответственные углы при параллельных прямых равны), поэтому \(\dfrac{AX}{AD} = \dfrac{AA_n}{AA_{n+1}} = \dfrac{n}{n+1}\). Значит, \(AX : XD = n : 1\), и по анализу \(X\) в \(n\) раз дальше от \(AB\), чем от \(CD\).

Исследование. Для любого \(n\) построение выполнимо и даёт одну точку: на отрезке \(AD\) есть ровно одна точка, делящая его в отношении \(n : 1\) от \(A\). Точка ближе к вершине \(D\), то есть к «другой» стороне \(CD\): при \(n = 2\) \(AX = \dfrac{2}{3}AD\), при \(n = 3\) \(AX = \dfrac{3}{4}AD\), при \(n = 4\) \(AX = \dfrac{4}{5}AD\).