Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 883

Условие (кратко)

Точка C лежит на отрезке AB. Постройте точку D прямой AB вне отрезка AB так, чтобы AD/DB = AC/CB. Всегда ли задача имеет решение?

Решение

Дано: отрезок $$AB$$ , точка $$C$$ на нём. Построить: точку $$D$$ прямой $$AB$$ , не лежащую на отрезке $$AB$$ , такую, что $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AC}{CB}$ .

Построение.

Проведём луч $$AX$$ , не лежащий на прямой $$AB$$ , и отложим на нём отрезок $$AC_1 = AC$$ .
На луче $$C_1A$$ от точки $$C_1$$ отложим отрезок $$C_1B_1 = CB$$ . Точка $$B_1$$ лежит на прямой $$AX$$ .
Проведём прямую $$BB_1$$ , а через $$C_1$$ — прямую, параллельную $$BB_1$$ . Точка её пересечения с прямой $$AB$$ — искомая точка $$D$$ .

Доказательство. Прямая $C_1D \parallel B_1B$ отсекает от угла с вершиной $$A$$ треугольник, подобный треугольнику $$AB_1B$$ (общий или вертикальный угол при $$A$$ и равные углы при параллельных прямых). Поэтому $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AC_1}{AB_1}$ .

Случай $$AC > CB$$ . Точка $$B_1$$ лежит между $$A$$ и $$C_1$$ , $$AB_1 = AC - CB$$ . Тогда $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AC}{AC - CB} > 1$ , значит, $$D$$ лежит на луче $$AB$$ за точкой $$B$$ , и $$DB = AD - AB$$ . Из пропорции $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AC_1}{AB_1}$ получаем $\dfrac{AD}{AD - AB} = \dfrac{AC_1}{AC_1 - AB_1}$ , то есть $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AC}{CB}$ .

Случай $$AC < CB$$ . Точка $$B_1$$ лежит на продолжении отрезка $$C_1A$$ за точку $$A$$ , $$AB_1 = CB - AC$$ , угол при $$A$$ у треугольников вертикальный, и $$D$$ лежит на продолжении отрезка $$AB$$ за точку $$A$$ , $$DB = AD + AB$$ . Тогда $\dfrac{AD}{AD + AB} = \dfrac{AC_1}{AC_1 + AB_1}$ , то есть снова $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AC}{CB}$ .

Исследование.

Если $$AC = CB$$ ( $$C$$ — середина $$AB$$ ), то $$B_1 = A$$ , прямая $$BB_1$$ совпадает с $$AB$$ , и параллельная ей прямая через $$C_1$$ прямую $$AB$$ не пересекает. Решения нет и по существу: равенство $$AD = DB$$ означает, что $$D$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AB$$ , а он пересекает прямую $$AB$$ только в середине отрезка — внутри $$AB$$ .
Если $AC \ne CB$ , решение единственное. Когда $$D$$ уходит от $$B$$ по продолжению за $$B$$ , отношение $\dfrac{AD}{DB} = 1 + \dfrac{AB}{DB}$ убывает и каждое значение больше 1 принимает один раз; на продолжении за $$A$$ отношение $\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{AD}{AD + AB}$ меньше 1 и каждое значение тоже принимает один раз.

Ответ

Не всегда. Если C — середина отрезка AB, решения нет; в остальных случаях искомая точка D единственная (за B при AC > CB, за A при AC < CB).

Почему так

Параллельные прямые высекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, поэтому нужное отношение переносится с луча AX на прямую AB.

Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».

Задание 883

Задача 1