Задание 884

Дано: угол \(\alpha\), отрезок \(s\). Построить: \(\triangle ABC\), в котором \(AB = BC\), \(\angle B = \alpha\), \(AC + BH = s\) (\(BH\) — высота к основанию).

Анализ. Все равнобедренные треугольники с углом \(\alpha\) при вершине подобны (углы при основании у них равны \(\dfrac{180^\circ - \alpha}{2}\)). Поэтому сначала строим любой такой треугольник, а потом подбираем коэффициент подобия по отрезку \(s\).

Построение.

1. Построим угол \(\alpha\) с вершиной \(B_1\) и отложим на его сторонах равные отрезки произвольной длины \(B_1A_1 = B_1C_1\). Получим равнобедренный \(\triangle A_1B_1C_1\) с углом \(\alpha\) при вершине.

2. Проведём высоту \(B_1H_1\). На продолжении отрезка \(A_1C_1\) за точку \(C_1\) отложим \(C_1P_1 = B_1H_1\); тогда \(A_1P_1 = A_1C_1 + B_1H_1\).

3. На луче \(A_1P_1\) отложим отрезок \(A_1P = s\). Через \(P\) проведём прямую, параллельную \(P_1B_1\); она пересечёт луч \(A_1B_1\) в точке \(B\).

4. Через \(B\) проведём прямую, параллельную \(B_1C_1\); она пересечёт луч \(A_1P_1\) в точке \(C\). Обозначим \(A = A_1\). \(\triangle ABC\) — искомый.

Доказательство. Так как \(BP \parallel B_1P_1\), то \(\triangle ABP \sim \triangle A_1B_1P_1\) и \(\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AP}{A_1P_1} = \dfrac{s}{A_1P_1} = k\). Так как \(BC \parallel B_1C_1\), то \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) с тем же коэффициентом \(k = \dfrac{AB}{A_1B_1}\). Значит, \(\triangle ABC\) равнобедренный, \(\angle B = \alpha\), \(AC = k \cdot A_1C_1\). Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(A_1B_1H_1\) подобны (равные острые углы при \(A\)), поэтому \(BH = k \cdot B_1H_1\). Итак, \(AC + BH = k(A_1C_1 + B_1H_1) = k \cdot A_1P_1 = s\).

Исследование. При любом угле \(0^\circ < \alpha < 180^\circ\) и любом отрезке \(s\) задача имеет решение, и оно единственно: искомый треугольник подобен \(\triangle A_1B_1C_1\), а коэффициент подобия однозначно задан отрезком \(s\).