Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 885

Условие (кратко)

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Решение

Дано: отрезки $$b$$ , $$c$$ , $$l$$ . Построить: $\triangle ABC$ , в котором $$AC = b$$ , $$AB = c$$ , а биссектриса $$AD$$ угла $$A$$ равна $$l$$ .

Анализ. Пусть $\triangle ABC$ построен. На прямой $$AD$$ отметим точку $$E$$ так, что $BE \parallel AC$ .

$\angle BEA = \angle EAC$ (накрест лежащие при $BE \parallel AC$ ), а $\angle EAC = \angle BAE$ ( $$AD$$ — биссектриса). Значит, $\angle BEA = \angle BAE$ , $\triangle ABE$ равнобедренный, $$BE = AB = c$$ .
$\triangle ADC \sim \triangle EDB$ (вертикальные углы при $$D$$ и накрест лежащие углы). По свойству биссектрисы (задача 642) $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{c}{b}$ , поэтому $\dfrac{DE}{AD} = \dfrac{c}{b}$ , $DE = \dfrac{lc}{b}$ .
В $\triangle ABE$ известны все стороны: $$AB = BE = c$$ , $AE = l + \dfrac{lc}{b}$ .

Построение.

Построим отрезок $x = \dfrac{lc}{b}$ — четвёртый пропорциональный к $$b$$ , $$c$$ , $$l$$ : на сторонах произвольного угла с вершиной $$O$$ отложим $$OP = b$$ , $$OQ = c$$ на одной стороне и $$OR = l$$ на другой; прямая через $$Q$$ , параллельная $$PR$$ , отсечёт на второй стороне отрезок $$OS = x$$ .
Построим $\triangle ABE$ по трём сторонам: $$AB = c$$ , $$BE = c$$ , $$AE = l + x$$ . На отрезке $$AE$$ отметим точку $$D$$ , $$AD = l$$ .
Через $$A$$ проведём прямую, параллельную $$BE$$ , и отметим на ней точку $$C$$ — пересечение с прямой $$BD$$ . $\triangle ABC$ — искомый.

Доказательство. $$AB = c$$ по построению. $\triangle ADC \sim \triangle EDB$ , поэтому $\dfrac{AC}{BE} = \dfrac{AD}{DE} = \dfrac{l}{x} = \dfrac{b}{c}$ , откуда $AC = \dfrac{b}{c} \cdot c = b$ . Наконец, $\angle BAD = \angle BEA$ ( $\triangle ABE$ равнобедренный) и $\angle BEA = \angle DAC$ (накрест лежащие), значит, $$AD$$ — биссектриса, $$AD = l$$ .

Исследование. Треугольник $$ABE$$ существует, если $$AE < AB + BE$$ , то есть $l + \dfrac{lc}{b} < 2c$ , или $l < \dfrac{2bc}{b + c}$ . При этом условии решение единственно, иначе решения нет.

Ответ

Треугольник строится через вспомогательный равнобедренный треугольник ABE со сторонами c, c и l(b + c)/b; решение есть и единственно, если l < 2bc/(b + c).

Почему так

Прямая BE, параллельная AC, даёт подобные треугольники ADC и EDB и равнобедренный треугольник ABE, который строится по трём сторонам.

Подробнее — в теме «Подобие в задачах на построение и измерение».

Задание 885

Задача 1