Задание 886

Дано: углы \(\alpha\), \(\gamma\), отрезок \(s\). Построить: \(\triangle ABC\), в котором \(\angle A = \alpha\), \(\angle C = \gamma\), \(AC + BH = s\) (\(BH\) — высота).

Анализ. Два угла задают треугольник с точностью до подобия (первый признак подобия). Строим любой треугольник с этими углами, а потом подбираем размер по отрезку \(s\).

Построение.

1. Возьмём произвольный отрезок \(A_1C_1\) и построим при его концах углы \(\alpha\) (при \(A_1\)) и \(\gamma\) (при \(C_1\)) по одну сторону от прямой \(A_1C_1\). Стороны углов пересекутся в точке \(B_1\).

2. Проведём высоту \(B_1H_1\) (перпендикуляр к прямой \(A_1C_1\)). На продолжении отрезка \(A_1C_1\) за точку \(C_1\) отложим \(C_1P_1 = B_1H_1\); тогда \(A_1P_1 = A_1C_1 + B_1H_1\).

3. На луче \(A_1P_1\) отложим \(A_1P = s\), через \(P\) проведём прямую, параллельную \(P_1B_1\), до пересечения с лучом \(A_1B_1\) в точке \(B\).

4. Через \(B\) проведём прямую, параллельную \(B_1C_1\), до пересечения с лучом \(A_1P_1\) в точке \(C\). Обозначим \(A = A_1\). \(\triangle ABC\) — искомый.

Доказательство. Из \(BP \parallel B_1P_1\) получаем \(\triangle ABP \sim \triangle A_1B_1P_1\), \(k = \dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AP}{A_1P_1} = \dfrac{s}{A_1P_1}\). Из \(BC \parallel B_1C_1\) получаем \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) с тем же \(k\); значит, \(\angle A = \alpha\), \(\angle C = \gamma\), \(AC = k \cdot A_1C_1\). Прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(A_1B_1H_1\) подобны (острый угол при \(A\) общий или равный), поэтому \(BH = k \cdot B_1H_1\). Следовательно, \(AC + BH = k \cdot A_1P_1 = s\).

Если угол \(\alpha\) или \(\gamma\) тупой, основание высоты \(H\) лежит на продолжении \(AC\) — построение от этого не меняется: в формулу входит длина высоты, а не положение \(H\).

Исследование. Решение существует тогда и только тогда, когда \(\alpha + \gamma < 180^\circ\), и оно единственно (коэффициент подобия однозначно задан отрезком \(s\)).