Задание 888

Дано: отрезки \(c\), \(a\), угол \(\alpha\), отрезки \(m\), \(n\). Построить: трапецию \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\), \(AD\) — большее основание), в которой \(AB = c\), \(AD = a\), \(\angle A = \alpha\), \(BC : CD = m : n\).

Анализ. Треугольник \(ABD\) задан двумя сторонами и углом между ними. Вершина \(C\) лежит на луче \(BX\), параллельном \(AD\) и направленном в ту же сторону, что луч \(AD\). В \(\triangle BCD\) известны сторона \(BD\), угол \(\angle CBD = \angle BDA\) (накрест лежащие при \(BC \parallel AD\)) и отношение \(BC : CD = m : n\). Такой треугольник строим методом подобия.

Построение.

1. Построим \(\triangle ABD\): \(\angle A = \alpha\), \(AB = c\), \(AD = a\).

2. Через \(B\) проведём луч \(BX \parallel AD\) (точки \(X\) и \(D\) — по одну сторону от прямой \(AB\)).

3. На луче \(BX\) отложим \(BC' = m\). Окружность с центром \(C'\) радиуса \(n\) пересечёт луч \(BD\) в точке \(D'\) (отличной от \(B\)).

4. Через \(D\) проведём прямую, параллельную \(C'D'\); она пересечёт луч \(BX\) в точке \(C\). \(ABCD\) — искомая трапеция.

Доказательство. \(BC \parallel AD\) по построению, \(AB = c\), \(AD = a\), \(\angle A = \alpha\). Так как \(CD \parallel C'D'\), то \(\triangle BCD \sim \triangle BC'D'\), поэтому \(\dfrac{BC}{CD} = \dfrac{BC'}{C'D'} = \dfrac{m}{n}\). Чтобы \(AD\) было большим основанием (и \(ABCD\) не было параллелограммом), нужно ещё \(BC < AD\).

Исследование. Обозначим \(\delta = \angle CBD = \angle BDA\), \(d\) — расстояние от \(C'\) до прямой \(BD\).

• Если \(n > m\), точка \(B\) лежит внутри окружности, и луч \(BD\) пересекает её ровно в одной точке \(D'\).
• Если \(n = m\), окружность проходит через \(B\); вторая точка на луче \(BD\) есть только при остром угле \(\delta\).
• Если \(n < m\), точек на луче \(BD\) две при \(\delta < 90^\circ\) и \(d < n\), одна при \(d = n\) и ни одной при \(d > n\) или \(\delta \ge 90^\circ\).

Из найденных точек \(C\) годятся те, для которых \(BC < a\). Поэтому задача может иметь два, одно или ни одного решения.