Задача 1
Постройте ромб, площадь которого равна площади данного квадрата, если отношение диагоналей ромба равно отношению данных отрезков.
Решение
Дано: квадрат со стороной \(a\), отрезки \(p\) и \(q\). Построить: ромб с диагоналями \(d_1\), \(d_2\), где \(d_1 : d_2 = p : q\) и \(S = a^2\).
Анализ. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: \(\dfrac{d_1 d_2}{2} = a^2\), то есть \(d_1 d_2 = 2a^2\). Из \(d_2 = \dfrac{q}{p} d_1\) получаем \(d_1^2 = 2a \cdot \dfrac{ap}{q}\), аналогично \(d_2^2 = 2a \cdot \dfrac{aq}{p}\). Значит, каждая диагональ — среднее пропорциональное двух отрезков, которые можно построить.
Построение.
-
Построим четвёртые пропорциональные \(y_1 = \dfrac{ap}{q}\) и \(y_2 = \dfrac{aq}{p}\) (из пропорций \(q : p = a : y_1\) и \(p : q = a : y_2\), параллельными прямыми на сторонах угла).
-
Построим \(d_1 = \sqrt{2a \cdot y_1}\). На прямой отложим подряд \(MK = 2a\) и \(KN = y_1\), на \(MN\) как на диаметре построим окружность, в точке \(K\) восставим перпендикуляр к \(MN\) до пересечения с окружностью в точке \(L\). Тогда \(KL = d_1\): угол \(MLN\) прямой (вписанный, опирается на диаметр), \(LK\) — высота прямоугольного треугольника к гипотенузе, и \(KL^2 = MK \cdot KN\) (высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы).
-
Так же построим \(d_2 = \sqrt{2a \cdot y_2}\).
-
Проведём две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке \(O\). На одной отложим \(OA = OC = \dfrac{d_1}{2}\), на другой \(OB = OD = \dfrac{d_2}{2}\). \(ABCD\) — искомый ромб.
Доказательство. Диагонали \(ABCD\) делятся точкой \(O\) пополам — это параллелограмм; диагонали перпендикулярны — это ромб. Далее
Исследование. При любых \(a\), \(p\), \(q\) решение существует и единственно (диагонали ромба определены однозначно).
Ответ
Из d₁d₂ = 2a² и d₁ : d₂ = p : q каждая диагональ выражается как среднее пропорциональное, которое строится через высоту прямоугольного треугольника.
Подробнее — в теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».