Задача 1
Прямая m, не проходящая через вершины △ABC, пересекает стороны AB и BC и продолжение стороны AC в точках C₁, A₁ и B₁. Докажите, что (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1 (теорема Менелая).
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), прямая \(m\) пересекает стороны \(AB\), \(BC\) в точках \(C_1\), \(A_1\) и продолжение \(AC\) в точке \(B_1\). Доказать: \(\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1\).
-
Через \(B\) проведём прямую, параллельную \(AC\). Прямая \(m\) не параллельна \(AC\) (она пересекает прямую \(AC\) в точке \(B_1\)), поэтому пересекает проведённую прямую в некоторой точке \(K\); \(K \ne B\), так как \(m\) не проходит через \(B\).
-
Рассмотрим \(\triangle AC_1B_1\) и \(\triangle BC_1K\). Точка \(C_1\) лежит между \(A\) и \(B\), углы при \(C_1\) вертикальные, а \(\angle C_1AB_1 = \angle C_1BK\) как накрест лежащие при \(AB_1 \parallel BK\) и секущей \(AB\). По первому признаку треугольники подобны:
\[\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB_1}{BK}.\] -
Рассмотрим \(\triangle A_1BK\) и \(\triangle A_1CB_1\). Точка \(A_1\) лежит между \(B\) и \(C\), углы при \(A_1\) вертикальные, \(\angle A_1BK = \angle A_1CB_1\) (накрест лежащие при \(BK \parallel CB_1\) и секущей \(BC\)). Треугольники подобны:
\[\dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{BK}{CB_1}.\] -
Перемножим:
\[\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{AB_1}{BK} \cdot \dfrac{BK}{CB_1} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{AB_1}{B_1A} = 1.\]
Ответ
Прямая через B, параллельная AC, даёт две пары подобных треугольников, и вспомогательный отрезок BK сокращается при перемножении отношений.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».