Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 891

Условие (кратко)

Докажите теорему Менелая (задача 890) для случая, когда точки C₁, A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон AB, BC и AC треугольника ABC.

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , прямая $$m$$ пересекает продолжения сторон $$AB$$ , $$BC$$ , $$AC$$ в точках $$C_1$$ , $$A_1$$ , $$B_1$$ . Доказать: $\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$ .

Как в задаче 890, проведём через $$B$$ прямую, параллельную $$AC$$ ; она пересечёт $$m$$ в точке $K \ne B$ ( $$m$$ не параллельна $$AC$$ , так как пересекает её в точке $$B_1$$ ).
Точка $$C_1$$ лежит вне отрезка $$AB$$ , значит, $$A$$ и $$B$$ лежат на одном луче с началом $$C_1$$ . Прямая $$BK$$ , параллельная стороне $$AB_1$$ треугольника $$C_1AB_1$$ , отсекает от него подобный треугольник: $\triangle C_1BK \sim \triangle C_1AB_1$ (угол $$C_1$$ общий, соответственные углы при $BK \parallel AB_1$ равны). Отсюда
$\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AB_1}{BK}.$
Точка $$A_1$$ лежит вне отрезка $$BC$$ , и так же $\triangle A_1BK \sim \triangle A_1CB_1$ (угол $$A_1$$ общий, $BK \parallel CB_1$ ):
$\dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{BK}{CB_1}.$
Перемножаем, как в задаче 890:
$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{AB_1}{BK} \cdot \dfrac{BK}{CB_1} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1.$

Вместе с задачей 890 это доказывает теорему Менелая для любой прямой, не проходящей через вершины: такая прямая либо пересекает две стороны и продолжение третьей, либо продолжения всех трёх сторон.

Ответ

Утверждение доказано — теорема Менелая верна и тогда, когда прямая пересекает продолжения всех трёх сторон.

Почему так

Та же вспомогательная прямая через B, параллельная AC; вместо вертикальных углов теперь общие углы при C₁ и A₁.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задание 891

Задача 1