Задача 1
Точки C₁, A₁, B₁ лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC или их продолжениях. Докажите, что если (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1, то C₁, A₁, B₁ лежат на одной прямой (обратная теорема Менелая).
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), точки \(C_1\), \(A_1\), \(B_1\) — на прямых \(AB\), \(BC\), \(AC\), не в вершинах, \(\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1\). Доказать: \(C_1\), \(A_1\), \(B_1\) лежат на одной прямой.
Важное уточнение. Прямая, не проходящая через вершины, делит плоскость на две полуплоскости. Сторону треугольника она пересекает, только если концы стороны лежат по разные стороны от неё. Вершины распределяются по полуплоскостям как «3 и 0» (прямая не пересекает ни одной стороны) или «2 и 1» (пересекает ровно две стороны). Значит, из трёх точек пересечения прямой с прямыми \(AB\), \(BC\), \(CA\) на продолжениях сторон лежит одна или три. Обратная теорема верна при таком же расположении данных точек; это условие подразумевается (как в задачах 890 и 891). Без него утверждение неверно: для середин сторон произведение равно \(1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\), но на одной прямой они не лежат.
Итак, пусть на продолжениях лежит одна или три точки из \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\).
-
Прямая \(A_1C_1\) не параллельна \(AC\). Иначе \(\triangle BA_1C_1 \sim \triangle BCA\), \(\dfrac{BA_1}{BC} = \dfrac{BC_1}{BA}\), откуда \(\dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{BC_1}{C_1A}\), причём \(A_1\) и \(C_1\) одновременно лежат на сторонах или одновременно на продолжениях. Из данного равенства тогда \(\dfrac{CB_1}{B_1A} = 1\), то есть \(B_1\) — середина \(AC\) и лежит на стороне. На продолжениях оказывается 0 или 2 точки — противоречие.
-
Пусть прямая \(A_1C_1\) пересекает прямую \(AC\) в точке \(B_2\). Это не вершина: если бы прямая \(A_1C_1\) проходила через \(A\), то \(C_1\) совпала бы с \(A\) (прямые \(AB\) и \(AA_1\) пересекаются только в \(A\)); так же \(B_2 \ne C\). По теореме Менелая (задачи 890, 891) для прямой \(A_1C_1\):
\[\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_2}{B_2A} = 1.\]Сравнивая с данным равенством, получаем \(\dfrac{CB_2}{B_2A} = \dfrac{CB_1}{B_1A} = t\). -
Для точек \(A_1\), \(C_1\), \(B_2\) число лежащих на продолжениях нечётно (уточнение выше), и для \(A_1\), \(C_1\), \(B_1\) — тоже. Значит, \(B_1\) и \(B_2\) обе лежат на отрезке \(AC\) или обе — вне его.
-
Если обе на отрезке: \(CX = t \cdot XA\) и \(CX + XA = AC\), откуда \(XA = \dfrac{AC}{1 + t}\) — одно и то же для \(X = B_1\) и \(X = B_2\), точки совпадают. Если обе вне отрезка, то \(t \ne 1\). При \(t < 1\) точка ближе к \(C\) и лежит за \(C\): \(AX - CX = AC\), \(AX = \dfrac{AC}{1 - t}\); при \(t > 1\) она за \(A\): \(CX - AX = AC\), \(AX = \dfrac{AC}{t - 1}\). В обоих случаях положение точки определено однозначно, и \(B_1 = B_2\).
Итак, \(B_1\) лежит на прямой \(A_1C_1\).
Ответ
Через две точки проводим прямую, по теореме Менелая находим третью точку на ней и убеждаемся, что отношение однозначно задаёт точку.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».