Задача 1
Точки C₁, A₁, B₁ лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC или их продолжениях. Докажите, что если прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке, то (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1 (теорема Чевы).
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), точки \(C_1\), \(A_1\), \(B_1\) на прямых \(AB\), \(BC\), \(AC\) (не вершины), прямые \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в точке \(M\). Доказать: \(\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1\).
Теорема Менелая (задачи 890 и 891) верна для любой прямой, не проходящей через вершины треугольника. Применим её дважды.
-
Треугольник \(ABB_1\) и прямая \(CC_1\). Она пересекает прямую \(AB\) в точке \(C_1\), прямую \(BB_1\) в точке \(M\) и прямую \(B_1A\) в точке \(C\) и не проходит через \(A\), \(B\), \(B_1\). По теореме Менелая
\[\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BM}{MB_1} \cdot \dfrac{B_1C}{CA} = 1. \qquad (1)\] -
Треугольник \(CBB_1\) и прямая \(AA_1\). Она пересекает \(CB\) в точке \(A_1\), \(BB_1\) в точке \(M\), \(B_1C\) в точке \(A\):
\[\dfrac{CA_1}{A_1B} \cdot \dfrac{BM}{MB_1} \cdot \dfrac{B_1A}{AC} = 1. \qquad (2)\] -
Разделим (1) на (2). Множитель \(\dfrac{BM}{MB_1}\) и отрезок \(AC = CA\) сократятся:
\[\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{B_1C}{CA} \cdot \dfrac{A_1B}{CA_1} \cdot \dfrac{AC}{B_1A} = \dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{A_1B}{CA_1} \cdot \dfrac{B_1C}{B_1A} = 1,\]то есть \(\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1\).
Ответ
Теорема Менелая для треугольников ABB₁ и CBB₁ с секущими CC₁ и AA₁; при делении равенств общий множитель BM/MB₁ сокращается.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».