Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 894

Условие (кратко)

Точки C₁, A₁, B₁ лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC или их продолжениях. Докажите, что если (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1, то прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке (обратная теорема Чевы).

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , точки $$C_1$$ , $$A_1$$ , $$B_1$$ на сторонах $$AB$$ , $$BC$$ , $$AC$$ , $\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = 1$ . Доказать: прямые $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.

Сначала разберём основной случай — все три точки лежат на сторонах (именно он нужен в задачах 895, 898, 899).

Отрезки $$AA_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются. Точки $$B$$ и $$C$$ лежат по разные стороны от прямой $$AA_1$$ ( $$A_1$$ между ними), а $$C_1$$ лежит на отрезке $$AB$$ , то есть по ту же сторону, что $$B$$ . Значит, отрезок $$CC_1$$ пересекает прямую $$AA_1$$ в точке $$M$$ внутри треугольника.
Луч $$BM$$ пересекает сторону $$AC$$ в некоторой точке $$B_2$$ (точка $$M$$ — внутри треугольника).
Прямые $$AA_1$$ , $$BB_2$$ , $$CC_1$$ проходят через $$M$$ , поэтому по теореме Чевы (задача 893)
$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_2}{B_2A} = 1.$ Сравнивая с данным равенством, получаем $\dfrac{CB_2}{B_2A} = \dfrac{CB_1}{B_1A} = t$ .
Обе точки лежат на отрезке $$AC$$ , и для каждой $XA = \dfrac{AC}{1 + t}$ (из $CX = t \cdot XA$ и $$CX + XA = AC$$ ). Значит, $$B_2 = B_1$$ , и прямая $$BB_1$$ проходит через $$M$$ .

Если некоторые точки лежат на продолжениях, рассуждение то же, но нужно дополнительно, чтобы прямые $$AA_1$$ и $$CC_1$$ пересекались, прямая $$BM$$ пересекала $$AC$$ и точки $$B_1$$ , $$B_2$$ обе лежали на отрезке $$AC$$ или обе вне его: тогда они совпадают, как в задаче 892 (точка прямой $$AC$$ , отличная от вершин, однозначно задаётся отношением $$CX : XA$$ и тем, лежит ли она на отрезке $$AC$$ ). Без этого утверждение неверно. Пример: $$BA_1 : A_1C = 2 : 1$$ , $$AC_1 : C_1B = 1 : 1$$ (точки на сторонах); равенству удовлетворяют и точка $$B_1$$ на стороне $$AC$$ с $$CB_1 : B_1A = 1 : 2$$ , и точка $$B_1'$$ на продолжении за $$C$$ с $$CB_1' = AC$$ , но через точку $$M$$ проходит только прямая $$BB_1$$ .

Ответ

Утверждение доказано — прямые пересекаются в одной точке (для точек на сторонах; для точек на продолжениях нужны дополнительные условия расположения).

Почему так

Через точку пересечения двух прямых проводим третью, по теореме Чевы находим её отношение и видим, что оно однозначно задаёт точку на стороне.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Задание 894

Задача 1