Задача 1
На катетах AC и BC прямоугольного △ABC внешним образом построены квадраты ACFK и BCDE, CH — высота △ABC. Докажите, что прямые CH, BK и AE пересекаются в одной точке.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(ACFK\) и \(BCDE\) — квадраты вне треугольника, \(CH\) — высота. Доказать: \(CH\), \(BK\), \(AE\) пересекаются в одной точке.
Обозначим \(BC = a\), \(AC = b\). Пусть \(BK\) пересекает \(AC\) в точке \(B_1\), а \(AE\) пересекает \(BC\) в точке \(A_1\).
-
\(AK \perp AC\) (сторона квадрата) и \(BC \perp AC\), поэтому \(AK \parallel BC\); точки \(K\) и \(B\) лежат по разные стороны от \(AC\), и \(B_1\) лежит на стороне \(AC\). \(\triangle AB_1K \sim \triangle CB_1B\) (вертикальные углы при \(B_1\), накрест лежащие углы при \(AK \parallel CB\)):
\[\dfrac{AB_1}{B_1C} = \dfrac{AK}{CB} = \dfrac{b}{a}, \qquad \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{a}{b}.\] -
Так же \(BE \perp BC\) и \(AC \perp BC\), \(BE \parallel CA\), \(\triangle BA_1E \sim \triangle CA_1A\):
\[\dfrac{BA_1}{A_1C} = \dfrac{BE}{CA} = \dfrac{a}{b}.\] -
В прямоугольном треугольнике катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: \(AC^2 = AB \cdot AH\), \(BC^2 = AB \cdot HB\). Отсюда \(\dfrac{AH}{HB} = \dfrac{b^2}{a^2}\); точка \(H\) лежит на стороне \(AB\) (углы \(A\) и \(B\) острые).
-
Для точек \(H\), \(A_1\), \(B_1\) на сторонах \(AB\), \(BC\), \(CA\):
\[\dfrac{AH}{HB} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{b^2}{a^2} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} = 1.\]По обратной теореме Чевы (задача 894) прямые \(CH\), \(AA_1\), \(BB_1\), то есть \(CH\), \(AE\), \(BK\), пересекаются в одной точке.
Ответ
Подобные треугольники дают отношения a/b на катетах, высота делит гипотенузу в отношении b² : a², и произведение отношений по теореме Чевы равно 1.
Подробнее — в теме «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике».