Задача 1
Точки C₁, A₁, B₁ лежат на сторонах AB, BC, AC треугольника ABC, отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O. Докажите, что CO/OC₁ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A (теорема Ван-Обеля).
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(C_1 \in AB\), \(A_1 \in BC\), \(B_1 \in AC\), \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\). Доказать: \(\dfrac{CO}{OC_1} = \dfrac{CA_1}{A_1B} + \dfrac{CB_1}{B_1A}\).
-
Треугольник \(ACC_1\) и прямая \(BB_1\): она пересекает \(AC\) в \(B_1\), \(CC_1\) в \(O\), продолжение \(C_1A\) — в точке \(B\). По теореме Менелая (задачи 890, 891)
\[\dfrac{AB_1}{B_1C} \cdot \dfrac{CO}{OC_1} \cdot \dfrac{C_1B}{BA} = 1, \quad\text{откуда}\quad \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{CO}{OC_1} \cdot \dfrac{C_1B}{AB}.\] -
Треугольник \(BCC_1\) и прямая \(AA_1\): она пересекает \(BC\) в \(A_1\), \(CC_1\) в \(O\), продолжение \(C_1B\) — в точке \(A\):
\[\dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CO}{OC_1} \cdot \dfrac{C_1A}{AB} = 1, \quad\text{откуда}\quad \dfrac{CA_1}{A_1B} = \dfrac{CO}{OC_1} \cdot \dfrac{C_1A}{AB}.\] -
Сложим и учтём, что \(C_1\) лежит на отрезке \(AB\), то есть \(C_1A + C_1B = AB\):
\[\dfrac{CA_1}{A_1B} + \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{CO}{OC_1} \cdot \dfrac{C_1A + C_1B}{AB} = \dfrac{CO}{OC_1}.\]
Ответ
Теорема Менелая для треугольников ACC₁ и BCC₁ выражает оба отношения через CO/OC₁, а сумма C₁A + C₁B равна AB.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».