Задача 1
Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\), \(CC_1\) — биссектриса, \(I\) — точка пересечения биссектрис. Доказать: \(\dfrac{CI}{IC_1} = \dfrac{a + b}{c}\) (для остальных биссектрис — так же).
-
По свойству биссектрисы (задача 642) биссектриса \(CC_1\) делит \(AB\) в отношении прилежащих сторон: \(\dfrac{AC_1}{C_1B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{b}{a}\). Так как \(AC_1 + C_1B = c\), то \(AC_1 = \dfrac{bc}{a + b}\).
-
Точка \(I\) лежит на биссектрисе угла \(A\), а угол \(CAC_1\) — это угол \(A\) треугольника. Значит, \(AI\) — биссектриса треугольника \(ACC_1\), и по тому же свойству
\[\dfrac{CI}{IC_1} = \dfrac{AC}{AC_1} = b : \dfrac{bc}{a + b} = \dfrac{a + b}{c}.\]
Здесь \(a\) и \(b\) — стороны, прилежащие к вершине \(C\), \(c\) — противолежащая. Для биссектрис из \(A\) и \(B\) рассуждение то же: \(\dfrac{AI}{IA_1} = \dfrac{b + c}{a}\), \(\dfrac{BI}{IB_1} = \dfrac{a + c}{b}\).
Проверка через теорему Ван-Обеля (задача 896). \(\dfrac{CA_1}{A_1B} = \dfrac{b}{c}\), \(\dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{a}{c}\) (свойство биссектрис \(AA_1\) и \(BB_1\)), поэтому \(\dfrac{CI}{IC_1} = \dfrac{b}{c} + \dfrac{a}{c} = \dfrac{a + b}{c}\).
Ответ
Свойство биссектрисы применяется дважды — в треугольнике ABC и в треугольнике ACC₁.
Подробнее — в теме «Подобные треугольники».