Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 898

Задача 1

Условие (кратко)

Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности с противоположными сторонами, пересекаются в одной точке (точка Жергонна).

Решение

Дано: $\triangle ABC$ , вписанная окружность касается сторон $$BC$$ , $$CA$$ , $$AB$$ в точках $$A_1$$ , $$B_1$$ , $$C_1$$ . Доказать: $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Поэтому
$AC_1 = AB_1 = x, \qquad BC_1 = BA_1 = y, \qquad CA_1 = CB_1 = z.$
Точки касания лежат на сторонах треугольника, и
$\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{z} \cdot \dfrac{z}{x} = 1.$
По обратной теореме Чевы (задача 894) отрезки $$AA_1$$ , $$BB_1$$ , $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.

Ответ

Утверждение доказано — отрезки пересекаются в одной точке (точка Жергонна).

Почему так

Равные отрезки касательных из вершин делают произведение отношений равным 1, а дальше работает обратная теорема Чевы.

Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).