Задача 1
Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей с противоположными сторонами, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
Решение
Дано: \(\triangle ABC\), \(BC = a\), \(CA = b\), \(AB = c\), \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\). Вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других. Окружности, касающиеся сторон \(BC\), \(CA\), \(AB\), касаются их в точках \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\). Доказать: \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в одной точке.
-
Найдём положение точки \(A_1\). Пусть окружность, касающаяся стороны \(BC\), касается продолжений \(AB\) и \(AC\) за точки \(B\) и \(C\) в точках \(P\) и \(Q\). Отрезки касательных из одной точки равны: \(AP = AQ\), \(BP = BA_1\), \(CQ = CA_1\). Тогда
\[AP + AQ = (AB + BP) + (AC + CQ) = c + b + (BA_1 + CA_1) = a + b + c = 2p,\]значит, \(AP = p\), и \(BA_1 = BP = p - c\), \(CA_1 = CQ = p - b\). -
Так же для двух других окружностей: \(CB_1 = p - a\), \(AB_1 = p - c\); \(AC_1 = p - b\), \(BC_1 = p - a\). Все эти числа положительны (каждая сторона меньше полупериметра), так что точки лежат на сторонах.
-
Произведение отношений:
\[\dfrac{AC_1}{C_1B} \cdot \dfrac{BA_1}{A_1C} \cdot \dfrac{CB_1}{B_1A} = \dfrac{p - b}{p - a} \cdot \dfrac{p - c}{p - b} \cdot \dfrac{p - a}{p - c} = 1.\] -
По обратной теореме Чевы (задача 894) отрезки \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в одной точке.
Ответ
Через равенство отрезков касательных находятся расстояния p − a, p − b, p − c, их отношения дают произведение 1, и работает обратная теорема Чевы.
Подробнее — в теме «Первый признак подобия треугольников».