Задание 900

Дано: окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) касаются в точке \(M\); одна секущая через \(M\) пересекает \(\omega_1\) в точке \(A\), \(\omega_2\) — в точке \(B\); другая пересекает \(\omega_1\) в точке \(A_1\), \(\omega_2\) — в точке \(B_1\). Доказать: \(AA_1 \parallel BB_1\).

1. Окружности с единственной общей точкой касаются в ней: точка \(M\) лежит на линии центров, и прямая \(t\), проходящая через \(M\) перпендикулярно линии центров, — общая касательная обеих окружностей.

2. Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой внутри этого угла, то есть равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу. Отметим на \(t\) точку \(T\) по другую сторону от прямой \(AB\), чем точка \(A_1\). Тогда в \(\omega_1\)

   \[\angle TMA = \angle MA_1A.\]

Случай внешнего касания (окружности лежат по разные стороны от \(t\)). Точка \(M\) лежит между \(A\) и \(B\) и между \(A_1\) и \(B_1\). Возьмём на \(t\) точку \(T'\) по другую сторону от \(M\), чем \(T\). Тогда \(\angle T'MB = \angle TMA\) (вертикальные). Точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат по разные стороны от прямой \(AB\), поэтому \(T'\) лежит по другую сторону от \(AB\), чем \(B_1\), и в \(\omega_2\) \(\angle T'MB = \angle MB_1B\). Значит, \(\angle MA_1A = \angle MB_1B\), то есть \(\angle AA_1B_1 = \angle BB_1A_1\). Это накрест лежащие углы при прямых \(AA_1\), \(BB_1\) и секущей \(A_1B_1\) (точки \(A\) и \(B\) — по разные стороны от неё), поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\).

Случай внутреннего касания (одна окружность внутри другой). Точки \(A\) и \(B\) лежат на одном луче с началом \(M\), точки \(A_1\) и \(B_1\) — тоже. Та же точка \(T\) годится для обеих окружностей: \(\angle MB_1B = \angle TMB = \angle TMA = \angle MA_1A\). Углы \(MA_1A\) и \(MB_1B\) — соответственные при прямых \(AA_1\), \(BB_1\) и секущей \(MA_1\), поэтому \(AA_1 \parallel BB_1\).