Геометрия. 7–9 классы · Атанасян, Бутузов и др.

Задание 901

Задача 1

Условие (кратко)

Окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Прямая AC касается первой окружности (C — на второй), прямая BD касается второй (D — на первой), рис. 276. Докажите, что AD ∥ BC.

Решение

Дано: окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$ ; $$D$$ лежит на первой окружности, $$C$$ — на второй; $$AC$$ касается первой окружности в точке $$A$$ , $$BD$$ касается второй в точке $$B$$ ; $$C$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AB$$ (рис. 276). Доказать: $AD \parallel BC$ .

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу внутри этого угла. В первой окружности угол между касательной $$AC$$ и хордой $$AB$$ опирается на ту же дугу $$AB$$ , что и вписанный угол $$ADB$$ :
$\angle BAC = \angle ADB.$
Во второй окружности угол между касательной $$BD$$ и хордой $$BA$$ опирается на ту же дугу, что и вписанный угол $$ACB$$ :
$\angle ABD = \angle ACB.$
В треугольниках $$ABC$$ и $$DAB$$ : $\angle BAC = \angle ADB$ , $\angle ACB = \angle DBA$ . По первому признаку $\triangle ABC \sim \triangle DAB$ (соответствие $A \to D$ , $B \to A$ , $C \to B$ ), и третьи углы равны: $\angle ABC = \angle DAB$ .
Углы $$ABC$$ и $$DAB$$ — накрест лежащие при прямых $$AD$$ , $$BC$$ и секущей $$AB$$ (точки $$D$$ и $$C$$ по разные стороны от $$AB$$ ). Значит, $AD \parallel BC$ .

Ответ

Утверждение доказано — AD ∥ BC.

Почему так

По теореме об угле между касательной и хордой треугольники ABC и DAB подобны, откуда равны накрест лежащие углы при прямых AD и BC.

Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».

Задача 2

Условие (кратко)

По условию задачи 901 (рис. 276, AC и BD — касательные к окружностям с центрами O₁ и O₂) докажите, что AB² = AD · BC.

Решение

Дано: те же окружности и точки, что в пункте а). Доказать: $AB^2 = AD \cdot BC$ .

В пункте а) доказано, что $\triangle ABC \sim \triangle DAB$ с соответствием вершин $A \to D$ , $B \to A$ , $C \to B$ (по теореме об угле между касательной и хордой $\angle BAC = \angle ADB$ и $\angle ACB = \angle ABD$ ).
Отношения соответствующих сторон равны:
$\dfrac{AB}{DA} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{CA}{BD}.$
Из первого равенства $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{BC}{AB}$ по основному свойству пропорции $AB^2 = AD \cdot BC$ .

Ответ

Утверждение доказано — AB² = AD · BC.

Почему так

Из подобия треугольников ABC и DAB сторона AB — среднее пропорциональное между AD и BC.

Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».

Задача 3

Условие (кратко)

По условию задачи 901 (рис. 276, AC и BD — касательные к окружностям с центрами O₁ и O₂) докажите, что BD² : AC² = AD : BC.

Решение

Дано: те же окружности и точки, что в пункте а). Доказать: $$BD^2 : AC^2 = AD : BC$$ .

Из подобия $\triangle ABC \sim \triangle DAB$ (пункт а)) имеем $\dfrac{AB}{DA} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{CA}{BD} = k$ .
Перемножим два первых отношения: $k^2 = \dfrac{AB}{AD} \cdot \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{BC}{AD}$ .
С другой стороны, $k = \dfrac{AC}{BD}$ , поэтому $\dfrac{AC^2}{BD^2} = \dfrac{BC}{AD}$ , то есть $\dfrac{BD^2}{AC^2} = \dfrac{AD}{BC}$ .

Ответ

Утверждение доказано — BD² : AC² = AD : BC.

Почему так

Квадрат коэффициента подобия выражается и через BD и AC, и через AD и BC.

Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Геометрия. 7–9 классы» (Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина; Просвещение, 2023, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/geometriya-8-atanasyan/zadachi-povyshennoj-trudnosti/upr-901/