Задача 1
Точки B₁ и C₁ — середины дуг AB и AC окружности (рис. 277); хорда B₁C₁ пересекает хорды AB и AC в точках M и N. Докажите, что AM = AN.
Решение
Дано: \(A\), \(B\), \(C\) — точки окружности, \(B_1\) — середина дуги \(AB\), \(C_1\) — середина дуги \(AC\) (дуг, не содержащих третьей точки), хорда \(B_1C_1\) пересекает \(AB\) в точке \(M\), \(AC\) — в точке \(N\) (рис. 277). Доказать: \(AM = AN\).
-
По условию \(\smile AB_1 = \smile B_1B\) и \(\smile AC_1 = \smile C_1C\).
-
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и сторонами вертикального угла. Хорды \(AB\) и \(B_1C_1\) пересекаются в точке \(M\):
\[\angle AMN = \angle AMC_1 = \tfrac{1}{2}(\smile AC_1 + \smile BB_1).\](Это же можно получить так: \(\angle AMC_1\) — внешний угол \(\triangle AMB_1\), он равен \(\angle MAB_1 + \angle AB_1M\), а эти вписанные углы опираются на дуги \(BB_1\) и \(AC_1\).) -
Хорды \(AC\) и \(B_1C_1\) пересекаются в точке \(N\):
\[\angle ANM = \angle ANB_1 = \tfrac{1}{2}(\smile AB_1 + \smile CC_1).\] -
Так как \(\smile BB_1 = \smile AB_1\) и \(\smile AC_1 = \smile CC_1\), правые части равны: \(\angle AMN = \angle ANM\). Значит, \(\triangle AMN\) равнобедренный с основанием \(MN\), и \(AM = AN\).
Ответ
Углы AMN и ANM измеряются полусуммами дуг, которые попарно равны, потому что B₁ и C₁ — середины дуг.
Подробнее — в теме «Углы, образованные хордами, касательными и секущими».