Задание 903

Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\), прямые пересекаются в точке \(S\), не лежащей на окружности; окружность высекает на них равные хорды \(AB\) и \(CD\). Доказать: при подходящем обозначении концов \(SA = SC\) и \(SB = SD\).

1. Пусть \(M\) и \(N\) — основания перпендикуляров из \(O\) на прямые \(AB\) и \(CD\). Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому \(M\) и \(N\) — середины хорд и \(AM = MB = \dfrac{AB}{2}\), \(CN = ND = \dfrac{CD}{2}\). Так как \(AB = CD\), все четыре отрезка равны; обозначим их \(a\).
2. Хорды равны — значит, равны и расстояния от центра до прямых: по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках \(OMA\) и \(ONC\) имеем \(OM^2 = R^2 - a^2 = ON^2\), то есть \(OM = ON\).
3. Точка \(S\) лежит на обеих прямых, поэтому \(SM \perp OM\) и \(SN \perp ON\). По теореме Пифагора \(SM^2 = OS^2 - OM^2\) и \(SN^2 = OS^2 - ON^2\). Значит, \(SM = SN\); обозначим это расстояние \(m\). (Формулы верны и в крайних случаях, когда \(S\) совпадает с \(M\) или \(O\) лежит на прямой.)
4. Случай 1: \(S\) вне окружности. Тогда \(S\) лежит на прямой \(AB\) вне отрезка \(AB\). Обозначим через \(B\) ближний к \(S\) конец, через \(A\) — дальний; так же на второй прямой \(D\) — ближний конец, \(C\) — дальний. Середина \(M\) лежит между \(A\) и \(B\), поэтому \(SA = SM + MA = m + a\), \(SB = SM - MB = m - a\). Точно так же \(SC = m + a\), \(SD = m - a\).
5. Случай 2: \(S\) внутри окружности. Тогда \(S\) лежит на обеих хордах. Обозначим через \(A\) конец хорды, лежащий по другую сторону от \(M\), чем \(S\) (если \(S = M\) — любой конец), через \(B\) — второй; так же \(C\) и \(D\) на второй хорде. Тогда \(SA = SM + MA = m + a\), \(SB = MB - SM = a - m\), и так же \(SC = m + a\), \(SD = a - m\).

В обоих случаях \(SA = SC\) и \(SB = SD\): расстояния от \(S\) до концов хорд соответственно равны.