Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что для всех хорд AB данной окружности величина AB²/AD, где AD — расстояние от точки A до касательной в точке B, одна и та же.
Решение
Дано: окружность с центром \(O\) и радиусом \(R\), хорда \(AB\), прямая \(l\) — касательная в точке \(B\), \(AD \perp l\), \(D \in l\). Доказать: \(\dfrac{AB^2}{AD}\) не зависит от выбора хорды. Покажем, что \(\dfrac{AB^2}{AD} = 2R\).
- Проведём диаметр \(BK\). Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому \(BK \perp l\).
- Если \(A = K\), то \(AB = 2R\), а точка \(D\) совпадает с \(B\), \(AD = KB = 2R\). Тогда \(\dfrac{AB^2}{AD} = \dfrac{4R^2}{2R} = 2R\).
- Пусть \(A \ne K\). Вписанный угол \(BAK\) опирается на полуокружность, поэтому \(\angle BAK = 90^\circ\), и в прямоугольном треугольнике \(ABK\) имеем \(\angle AKB = 90^\circ - \angle ABK\).
- Прямые \(AD\) и \(BK\) обе перпендикулярны \(l\), значит, \(AD \parallel BK\), и точки \(A\) и \(D\) лежат по одну сторону от прямой \(BK\). Точки \(A\) и \(K\) лежат по одну сторону от касательной (вся окружность лежит по одну сторону от неё). Поэтому луч \(BA\) проходит внутри прямого угла \(DBK\) и \(\angle ABD = 90^\circ - \angle ABK = \angle AKB\).
- Прямоугольные треугольники \(ADB\) (прямой угол \(D\)) и \(BAK\) (прямой угол \(A\)) имеют равные острые углы \(\angle ABD = \angle BKA\), значит, они подобны. Соответствующие стороны: катет \(AD\) против угла \(\angle ABD\) — катет \(AB\) против угла \(\angle BKA\); гипотенуза \(AB\) — гипотенуза \(BK\). Отсюда \(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AB}{BK}\).
- Значит, \(AB^2 = AD \cdot BK = 2R \cdot AD\) и \(\dfrac{AB^2}{AD} = 2R\).
Величина равна диаметру окружности для любой хорды \(AB\).
Ответ
Утверждение доказано: AB²/AD = 2R, то есть равно диаметру окружности для любой хорды.
Почему так
Диаметр BK и угол на полуокружности дают прямоугольный треугольник, подобный треугольнику ADB, откуда AB² = AD·2R.
Подробнее — в теме «Вписанный угол».