Задача 1
Через точку A пересечения окружностей с центрами O₁ и O₂ проведена прямая, пересекающая одну окружность в B, другую — в C. Доказать, что BC наибольший, когда BC ∥ O₁O₂.
Решение
Дано: окружности с центрами \(O_1\) и \(O_2\) пересекаются в точке \(A\); прямая через \(A\) вторично пересекает первую окружность в \(B\), вторую — в \(C\). Доказать: \(BC \le 2\,O_1O_2\), причём равенство — ровно тогда, когда \(BC \parallel O_1O_2\); значит, \(BC\) наибольший при \(BC \parallel O_1O_2\).
- Проведём перпендикуляры \(O_1H_1\) и \(O_2H_2\) к прямой \(BC\). Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, поэтому \(H_1\) — середина \(AB\), \(H_2\) — середина \(AC\): \(AB = 2AH_1\), \(AC = 2AH_2\). (Если прямая касается окружности в точке \(A\), то \(B = A = H_1\) — равенства тоже верны.)
- Если \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны от \(A\), то \(H_1\) и \(H_2\) тоже по разные стороны, и \(BC = AB + AC = 2(AH_1 + AH_2) = 2H_1H_2\). Если по одну сторону, то \(BC = |AB - AC| = 2|AH_1 - AH_2| = 2H_1H_2\). Итак, всегда \(BC = 2H_1H_2\).
- Прямые \(O_1H_1\) и \(O_2H_2\) перпендикулярны \(BC\), значит, параллельны. Проведём \(O_1K \perp O_2H_2\) (\(K\) на прямой \(O_2H_2\)). Четырёхугольник \(O_1H_1H_2K\) — прямоугольник, поэтому \(H_1H_2 = O_1K\).
- В прямоугольном треугольнике \(O_1KO_2\) катет не больше гипотенузы: \(O_1K \le O_1O_2\), причём \(O_1K = O_1O_2\) только при \(K = O_2\), то есть когда \(O_1O_2 \perp O_2H_2\), а значит, \(O_1O_2 \parallel BC\).
- Итак, \(BC = 2H_1H_2 = 2\,O_1K \le 2\,O_1O_2\). Если \(BC \parallel O_1O_2\), то \(BC = 2\,O_1O_2\), а для любой другой прямой \(BC < 2\,O_1O_2\).
Отрезок \(BC\) наибольший, когда он параллелен линии центров; его длина тогда равна \(2\,O_1O_2\).
Ответ
Проекции центров на прямую — середины хорд, поэтому BC вдвое больше проекции отрезка O₁O₂ на эту прямую, а проекция наибольшая при параллельности.
Подробнее — в теме «Взаимное расположение двух окружностей».