Геометрия 8 класс Атанасян, Бутузов и др., Задачи повышенной трудности, задание 906

Условие (кратко)

AB — диаметр окружности с центром O. На каждом радиусе OM от O отложен отрезок, равный расстоянию от M до прямой AB. Найти множество концов таких отрезков.

Решение

Дано

окружность с центром $$O$$ и радиусом $$R$$
диаметр $$AB$$ ; для каждой точки $$M$$ окружности на радиусе $$OM$$ отмечена точка $$P$$
$$OP = MK$$
где $MK \perp AB$

Найти

множество точек $$P$$

Проведём диаметр $CD \perp AB$ . Пусть $$M$$ лежит по ту же сторону от $$AB$$ , что и $$C$$ , и $M \ne C$ . Тогда $MK \parallel OC$ (обе перпендикулярны $$AB$$ ), а $\angle KMO$ и $\angle COM$ — накрест лежащие углы при этих параллельных и секущей $$OM$$ , поэтому $\angle KMO = \angle COP$ .
Треугольники $$POC$$ и $$KMO$$ : $$OP = MK$$ по построению, $$OC = OM = R$$ , $\angle POC = \angle KMO$ . Они равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $\angle OPC = \angle MKO = 90^\circ$ .
Точка $$P$$ видит отрезок $$OC$$ под прямым углом. Медиана прямоугольного треугольника $$OPC$$ , проведённая к гипотенузе, равна её половине, поэтому $$P$$ лежит на окружности с диаметром $$OC$$ (центр — середина $$OC$$ , радиус $\dfrac{R}{2}$ ). При $$M = C$$ получаем $$P = C$$ , при $$M = A$$ или $$M = B$$ — $$P = O$$ ; обе точки тоже на этой окружности.
Обратно, пусть $$P$$ — точка окружности с диаметром $$OC$$ , $P \ne O$ . Эта окружность касается $$AB$$ в точке $$O$$ и лежит по одну сторону от $$AB$$ с точкой $$C$$ , поэтому луч $$OP$$ пересекает данную окружность в точке $$M$$ той же полуплоскости. Прямоугольные треугольники $$OPC$$ и $$MKO$$ равны по гипотенузе ( $$OC = MO$$ ) и острому углу ( $\angle POC = \angle KMO$ ), поэтому $$OP = MK$$ — точка $$P$$ построена для радиуса $$OM$$ . Точка $$O$$ получается из $$M = A$$ .
Для точек $$M$$ по другую сторону от $$AB$$ всё так же, только вместо $$C$$ — точка $$D$$ .

Искомое множество — две окружности, построенные на радиусах $$OC$$ и $$OD$$ , перпендикулярных $$AB$$ , как на диаметрах; они касаются прямой $$AB$$ в центре $$O$$ .

Ответ

Две окружности, построенные на отрезках OC и OD как на диаметрах, где CD — диаметр, перпендикулярный AB.

Почему так

Построенная точка P видит радиус OC, перпендикулярный AB, под прямым углом, а такие точки лежат на окружности с диаметром OC.

Подробнее — в теме «Вписанный угол».

Задание 906

Задача 1